Equilibrio para una cuerda que cuelga en un espacio-tiempo de Schwarzschild

Actualización: Trimok y MBN me ayudaron a resolver la mayor parte de mi confusión. Sin embargo, todavía hay un término adicional − ( 2 / r ) T en el resultado final. Brown no escribe este término y parece físicamente incorrecto.

Actualización #2: Posible resolución del problema restante. Ver comentario sobre la respuesta de MBN.

Supongamos que tenemos una cuerda que cuelga estáticamente en un espacio-tiempo de Schwarzschild. tiene masa constante por unidad de longitud m , y queremos encontrar la tensión variable T . Brown 2012 brinda un tratamiento un poco más general de esto, que tengo problemas para entender. Recapitulando las ecuaciones de Brown (3)-(5) y especializándolas para esta situación, tengo en coordenadas de Schwarzschild ( t , r , θ , ϕ ) , con firma − + + + , la métrica

d s 2 = − F 2 d t 2 + F − 2 d r 2 + . . . ,  dónde F = ( 1 − 2 METRO / r ) 1 / 2

y el tensor esfuerzo-energía

T v k = ( 4 π r 2 ) − 1 diagnóstico ⁡ ( − m , − T , 0 , 0 ) .

Dice que la ecuación de equilibrio es:

∇ k T r k = 0

Luego dice que si haces las matemáticas, la ecuación de equilibrio se convierte en algo que en mi caso especial es equivalente a

T ′ + ( F ′ / F ) ( T − m ) = 0 ,

donde los primos son derivadas con respecto a r . Esto tiene sentido porque en el espacio-tiempo plano, F ′ = 0 , y T es una constante El límite newtoniano también tiene sentido, porque F ′ es el campo gravitacional, y T − m → − m .

Hay al menos dos cosas que no entiendo aquí.

En primer lugar, ¿no es su ecuación de equilibrio simplemente un enunciado de conservación de la energía-momento, que sería válido independientemente de si la cuerda estaba o no en equilibrio?

Segundo, no entiendo cómo obtiene la ecuación diferencial final para T . Dado que el tensor de tensión-energía de índice superior-inferior es diagonal, el único término en la ecuación de equilibrio es ∇ r T r r = 0 , lo que significa m no puede entrar. Además, si escribo la derivada covariante en términos de la derivada parcial y los símbolos de Christoffel (siendo el relevante Γ r r r = − metro / r ( r − 2 metro ) ), los dos términos del símbolo de Christoffel se cancelan, así que obtengo

∇ r T r r = ∂ r T r r + Γ r r r T r r − Γ r r r T r r ,

que no implica F y obviamente está mal si lo configuro igual a 0.

¿Qué estoy malinterpretando aquí?

Referencias

Brown, "Resistencia a la tracción y minería de agujeros negros", http://arxiv.org/abs/1207.3342

Brown no usa un agujero negro de Schwarzschild, sino un espacio-tiempo general estático esféricamente simétrico. ( 3 ) , que tiene como fuente una distribución de materia estática general esféricamente simétrica dada por el tensor tensión-energía ( 4 ) . Entonces x ( r ) y F ( r ) depende de T (y m ), pero, sí, esta "ecuación de equilibrio" no es otra cosa que la habitual "conservación" del tensor esfuerzo-energía.
@Trimok: Hace un tratamiento que se convierte en Schwarzschild cuando x = F , que es el caso especial que presento arriba.
Si lo es, entonces el T v k no puede ser la fuente del campo gravitatorio.
@Trimok: Correcto, el T v k lo que se discute aquí es el tensor de tensión-energía de la cuerda, no del cuerpo gravitatorio.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/104474/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

De eso tienes ∇ r T r r = T ′ , pero también hay

∇ t T r t = ∂ ∂ t T r t + Γ α t t T r α − Γ r t α T α t = Γ r t t T r r − Γ r t t T t t = − Γ r t t ( T − m ) .

Entonces

∇ k T r k = ∇ r T r r + ∇ t T r t = − T ′ − ( F ′ / F ) ( T − m ) .

Esto debería ser un comentario, pero los símbolos no funcionaron.

Supongo que se llama ecuación de equilibrio porque T es la energía de tensión de la cuerda, no una energía de tensión que afecta la geometría del espacio-tiempo. El fondo es fijo y la cuerda vive de él.

¡Bien! Corregido.
Creo que hay otro problema: nos olvidamos de la r − 2 término en la definición del tensor tensión-energía, y esto es un problema en la derivación de ∂ r T r r
Ah, ya veo. yo había estado descuidando ∇ t T r t , desde T r t = 0 . ¡No se me había ocurrido que la derivada covariante de algo que se desvanece de forma idéntica podría seguir siendo distinta de cero! Creo que el cálculo realmente da una condición para el equilibrio estático porque el tensor de tensión-energía se toma como diagonal, por lo que no hay flujo de energía-momento.
Las notaciones pueden ser engañosas, realmente lo es. ( ∇ i T ) k j . Pero Trimok ha señalado que me perdí el r − 2 . Pensé que eran solo constantes en el frente.
Entonces, teniendo en cuenta la corrección de MBN sobre los términos derivados covariantes adicionales y la corrección de Trimok sobre el r − 2 factor, obtengo lo siguiente: 0 = − ( 2 / r ) T + T ′ + ( F ′ / F ) ( T − m ) . Esto difiere del resultado de Brown por la − ( 2 / r ) T término, y creo que ese término es claramente físicamente incorrecto, ya que en el límite newtoniano obtengo − ( 2 / r ) T + T ′ − m gramo = 0 . Debería ser T ′ − m gramo = 0 , sin el primer término.
Creo que puedo entender el problema final. Hay una versión del cálculo en un apéndice de Fouxon, arxiv.org/abs/0710.1429 . Las fibras de la cuerda se consideran radiales, por lo que es un cono, no un cilindro. La tensión real encontrada al integrar a través de la sección transversal del cono no es T pero y = T r 2 F . Con el cambio de variables casi me sale el − ( 2 / r ) T término para irse, excepto que todavía me confunden las señales.
Con las notaciones de Fouxon, diagonal T v k sin r − 2 términos tendremos: ∇ k T r k = S ′ + ( F ′ / F ) ( S + ρ ) = 0.
@Trimok: Sí, creo que lo que sucede aquí es que Brown cometió un error en su trabajo. si definimos ρ = m / ( 4 π r 2 ) y S = T / ( 4 π r 2 ) , entonces el tensor tensión-energía de Brown se escribe correctamente en términos de m y T , pero su ecuación diferencial final debería ser realmente una ecuación diferencial para ρ y S .
@Trimok: ¡Ajá! Finalmente entiendo lo que está pasando con el − ( 2 / r ) T término. No solo dejé fuera el ∇ t T r t término, pero ninguno de nosotros se dio cuenta de que también había términos ∇ ϕ T r ϕ y ∇ θ T r θ . Estos terminan cancelando el − ( 2 / r ) T .
@BenCrowell: Sí, tienes razón. Eso también lo compruebo.
@BenCrowell: :)
@BenCrowell: tal vez debería editar mi respuesta o mejor agregar esto a su pregunta, para que sea independiente de los comentarios, que no siempre se leen.
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