¿Hay algunas órbitas de tres cuerpos de las que no se puede escapar? ¿Podemos saber sin propagarnos para siempre?

Realmente hay dos preguntas aquí:

1. existe$n$-sistemas corporales con estabilidad a largo plazo?
2. ¿Se puede mostrar, a priori, que un tercer cuerpo (masivo o no) está acotado o escapa sin recurrir a la simulación numérica?

1. Estabilidad de$n$-sistemas corporales

Es ampliamente conocido que$n$-los sistemas corporales son "caóticos" cuando$n>2$. Sin embargo, esto debe descomprimirse matemáticamente para que sea útil.

Hay varios casos básicos:

• En un sistema estable , el comportamiento vuelve al mismo equilibrio, incluso en presencia de pequeñas fuerzas perturbadoras.
  • En un sistema metaestable , el comportamiento es estable, pero no se encuentra en el nivel de energía más bajo posible (para una definición de "energía" específica del problema).
• En un sistema neutralmente estable , el comportamiento a largo plazo se ve alterado por pequeñas fuerzas perturbadoras, pero esa diferencia en el comportamiento sigue siendo pequeña.
• En un sistema inestable , el comportamiento a largo plazo del sistema se ve fuertemente afectado por las perturbaciones. Pequeños cambios causan grandes diferencias en el comportamiento a largo plazo.

Una discusión real sobre la dinámica no lineal está fuera del alcance (si desea una, le recomiendo Nonlinear Dynamics and Chaos de Strogatz), pero en términos generales, un sistema "caótico" es un sistema inestable. Sin embargo, los sistemas inestables también tienden a tener al menos algunas regiones neutralmente estables. Muchos también tienen regiones estables. Por ejemplo, en general , el conjunto de Mandelbrot (quizás el sistema caótico canónico) itera$z_n:=z_{n-1}^2+c, ~~z_0=c$es caótico Sin embargo, hay muchos casos estables y neutralmente estables (por ejemplo, trivialmente,$c:=0$).

Entonces, ahora que sabemos de lo que estamos hablando, ¿qué pasa con la estabilidad de$n$-¿sistemas corporales? Sabemos, por siglos de estudio, que son caóticos, pero ¿son siempre inestables?

Un momento de reflexión revelará que$n$-Los sistemas corporales tienen algunos elementos de estabilidad neutra: las perturbaciones en las órbitas planetarias son abundantes, ¡pero los planetas no son lanzados al infinito ni chocan contra el Sol constantemente! Sin embargo, estas perturbaciones tienen efectos duraderos a largo plazo: de hecho, los astrofísicos hacen inferencias sobre la ciencia planetaria al leer pistas de perturbaciones antiguas escritas en alteraciones de órbitas que persisten en la actualidad.

Lo que esto nos dice es que$n$-Los sistemas corporales son inestables, con regiones de estabilidad neutra . Las órbitas son fundamentalmente caóticas , pero en algunas situaciones el comportamiento puede ser más predecible (aunque todavía sujeto a pequeños cambios a largo plazo por pequeñas perturbaciones).

2. ¿Permanecerá limitada [alguna condición inicial]?

Las técnicas matemáticas para responder definitivamente a esta pregunta no existen. De hecho, se cree que caracterizar el comportamiento a largo plazo de los sistemas caóticos más allá de la estabilidad aproximada es realmente imposible. Por ejemplo, no existe un algoritmo de tiempo finito posible para predecir correctamente el comportamiento a largo plazo de un objeto arbitrario.$c$en el ejemplo anterior del conjunto de Mandelbrot en todos los casos, una secuencia de$z_k$s que son, apropiadamente, llamados "órbitas".

Sin embargo, esto es derrotista, y sería engañoso decir que no se puede hacer nada.

El caso fácil es observar la energía orbital total. Esto es invariante, despreciando las colisiones y las fuerzas externas. Para el caso de dos cuerpos, se puede expresar en la famosa ecuación vis-viva , pero la conservación de la energía también es cierta con cualquier número de cuerpos.

Una condición suficiente para que el sistema permanezca acotado es imaginar lo que sucedería si un cuerpo de alguna manera obtuviera toda la energía orbital (imagínese: todos los puntos en el origen; todos los cuerpos inmóviles excepto uno). Si la energía orbital de este cuerpo es menor que la energía de enlace gravitacional que lo une al resto del sistema, y ​​esto es cierto para cualquier cuerpo así elegido, entonces ningún cuerpo puede escapar y el sistema permanecerá acotado. Sin embargo, lo contrario no es cierto: incluso si un cuerpo pudiera escapar, no significa que el sistema sea necesariamente ilimitado.

Para analizar ese caso, recurrimos a varios casos especiales que se han inventado a lo largo de los años.

La mayoría de las configuraciones, como la configuración central , son inestables: la más mínima perturbación y el sistema se vuelve inestable. Si bien el comportamiento a largo plazo de un elemento individual en un sistema caótico en una región de inestabilidad no se puede predecir en general (después de todo, eso es lo que significa "caótico" ), es difícil decir qué sucederá. Sin embargo, parece ser que, en la práctica, los cuerpos eventualmente serán expulsados ​​hasta que solo queden dos (o uno).

Heurísticamente, esto tiene cierto sentido. La gravedad ayuda a transferir energía de un cuerpo a otro; ya que las órbitas son esencialmente impredecibles (léase: "al azar") en un$n$-sistema corporal, los cuerpos dividen la energía disponible, efectivamente al azar, hasta que uno de ellos obtiene suficiente energía para escapar de la energía de enlace de los demás. El sistema a veces caminará a través de regiones de estabilidad neutral (como nuestro sistema solar en este momento) que pueden tener una vida relativamente larga pero que eventualmente se volverán inestables. Esto no es una prueba, pero describe el comportamiento cualitativo de la mayoría$n$-sistemas corporales (y es la motivación para la condición suficiente para la delimitación establecida anteriormente).

Sin embargo, hay algunas otras configuraciones, como la configuración en forma de 8, que en realidad son (meta) estables dentro de una pequeña región:

                                                                 ^{(imagen fija de la animación en el enlace de arriba)}

Teóricamente, esta órbita es estable para siempre y nunca exhibiría un comportamiento caótico a menos que fuera perturbada, y significativamente perturbada, desde el exterior.

Conclusión

Entonces, TL; DR: existen algunos ejemplos de sistemas de tres cuerpos que son (meta) estables (es decir, resistentes a pequeñas perturbaciones durante largos períodos de tiempo). Sin embargo, en la mayoría de los casos, tres cuerpos (o$n$-cuerpo) los sistemas son solo neutralmente estables en el mejor de los casos (es decir, las pequeñas perturbaciones tienen efectos duraderos, pero no desestabilizadores), y para la mayoría de las condiciones iniciales son inestables (es decir, las pequeñas perturbaciones tienen efectos dramáticos duraderos), y las primeras eventualmente se convierten en las últimas. .

Para cuestiones de acotación, más allá del simple análisis de la energía orbital, el conocimiento de que un sistema es inestable no es suficiente para decir que no está acotado (aunque probablemente lo sea).

Caracterizar el comportamiento de tales sistemas más allá de esto en general está en algún lugar entre "más allá de nuestro conocimiento" y "realmente imposible".

Suponga masas de tres puntos, gravedad newtoniana y sin pérdidas.

Si también podemos suponer que no hay perturbaciones de ningún otro tipo y que los cuerpos están perfectamente colocados en las condiciones iniciales, entonces una roseta de Klemperer de 3 cuerpos : tres cuerpos de igual masa, en un triángulo equilátero, con cualquier velocidad inicial rotatoriamente simétrica cómodamente por debajo de la velocidad de escape baricéntrica, debe permanecer estable.

Creo que, dadas las masas puntuales, las perturbaciones infinitesimales y el tiempo infinito, todas las configuraciones deben conducir al escape, pero un par de compañeros que orbitan cerca más un tercero que orbita lejos pueden comportarse como dos problemas independientes de 2 cuerpos durante períodos de tiempo extremadamente largos.