¿La nave espacial Apolo siempre estuvo unida gravitacionalmente al sistema Tierra-Luna?

Mmm. Esta pregunta es más complicada de lo que parece. Para saber si un cuerpo en un sistema de tres cuerpos está siempre "atado" gravitacionalmente, hay que mirar hacia el futuro. Por ejemplo, un sobrevuelo lo suficientemente cerca de la Luna en el lado posterior pondría a la nave espacial en una trayectoria de escape Tierra-Luna.

El Apolo 11 estaba en una trayectoria de retorno libre por lo que el sobrevuelo lunar (si no entraba en órbita) lo enviaría de regreso a la Tierra. Así que estaba ligado gravitacionalmente, ¿verdad?

Bueno, ¿qué pasaría si una nave espacial estuviera en una trayectoria muy similar que simplemente no alcanza la Tierra en el regreso? (No voy a usar el Apolo 11 en mi hipótesis, ya que no quiero matar a los astronautas del Apolo 11, ni siquiera hipotéticamente). Continuaría orbitando la Tierra en una órbita de cruce lunar, eventualmente teniendo un encuentro cercano con la Luna de nuevo. Entonces la Luna podría lanzar la nave espacial en una trayectoria de escape. Entonces, ¿estaba ligado gravitacionalmente?

Exactamente esto le sucedió a la tercera etapa del Apolo 12 que mencionaste, que estuvo orbitando la Tierra durante bastante tiempo. Se cree que abandonó la órbita terrestre en 2003. Dado que escapó tres décadas después, no debe haber estado ligado gravitacionalmente todo ese tiempo. Pero, ¿y si mientras está en la órbita solar se encuentra con el sistema Tierra-Luna algún tiempo después, y la Luna hace lo contrario y lo vuelve a colocar en la órbita terrestre? (Esa tercera etapa podría hacer exactamente eso a mediados de la década de 2040). Ahora, ¿estuvo ligada gravitacionalmente todo el tiempo? Si ahora crees que lo es, ¿no podría eventualmente escapar de nuevo?

Si sus vagabundeos terminan permanentemente al impactar la Tierra o la Luna, entonces ahora está atado gravitacionalmente en pedazos a ese cuerpo. Por lo tanto, siempre estuvo ligado gravitacionalmente, incluso cuando estaba en órbita solar. ¿Derecha?

Para responder verdaderamente a su pregunta, necesitaría propagar la trayectoria desde cada estado entre maniobras, potencialmente durante mucho tiempo, para determinar su destino final. A menudo no habrá suficiente precisión en el estado conocido, así como incertidumbre en las perturbaciones de la presión solar, para que eso sea determinista.

En cuanto a la tercera etapa del Apolo 12, intentaron deliberadamente que escapara inmediatamente del sistema Tierra-Luna, pero fracasaron. Posteriormente, la tercera etapa del Apolo tuvo como objetivo impactar la Luna, lo que generó buenas señales sísmicas.

Sí. La pila de Apolo siempre estaba en una trayectoria de retorno libre entre las quemas.

La trayectoria del Apolo 13 se veía así.

Primera corrección a mitad de camino:

A las 030:40:49.65, una corrección a mitad de camino de 3.49 segundos redujo el punto más cercano de aproximación de la nave espacial a la Luna a una altitud de 60 millas. Antes de esta maniobra, la nave espacial había estado en una trayectoria de retorno libre, en la que la nave espacial habría girado alrededor de la Luna y regresado a la Tierra sin requerir una maniobra importante.

Segunda corrección a mitad de camino:

Luego, la nave espacial se maniobró de regreso a una trayectoria de retorno libre a las 061:29:43.49 disparando el motor de descenso LM durante 34.23 segundos. Luego giró detrás de la Luna y estuvo fuera de contacto con las estaciones de seguimiento de la Tierra entre las 077:08:35 y las 077:33:10, un total de 24 minutos y 35 segundos.

Fuente

Entre estas dos maniobras, la nave espacial no estaba en una trayectoria de retorno libre. Todavía no sé si esta sección de la trayectoria estaba ligada al sistema Tierra-Luna.

Tendré que buscar detalles, pero creo que en el vuelo de ida, la nave espacial tuvo un apogeo alto pero aún finito, tal vez 2 veces la distancia lunar (700000 km más o menos).

En el camino de regreso, creo recordar que el vuelo de regreso en realidad excedió la velocidad de escape y, por lo tanto, estaba en una órbita hiperbólica alrededor de la Tierra. Sin embargo, el periápside era lo suficientemente bajo como para que la nave espacial se sumergiera y entrara en la atmósfera en lugar de escapar. Si la atmósfera y/o el suelo no estuvieran en el camino, la nave espacial habría escapado de la Tierra y entrado en órbita solar.

De cualquier manera, la nave espacial estaba tan cerca de la velocidad de escape que pequeños cambios en la velocidad resultan en enormes cambios en el apoapsis de la órbita.

Después de la separación, el S-IVB hizo una pequeña maniobra para impactar la luna o hacer una asistencia de gravedad en una órbita heliocéntrica, que es de donde proviene la etapa superior como asteroide. La etapa superior está en órbita alrededor del Sol, pero una órbita que se cruza con la de la Tierra y periódicamente se vuelve a acercar a la Tierra.