¿Son algunas órbitas de Halo realmente estables? (órbitas estables sobre puntos de Lagrange inestables)

Question

¿Son algunas órbitas de Halo realmente estables? (órbitas estables sobre puntos de Lagrange inestables)

Espacio
tres cuerpos
puntos lagrangianos
mecánica-orbital

UH oh

actualización: algunas fuentes más; el sitio roto spacecraftforall.com/a-new-orbit solía tener una simulación interactiva, aquí hay una captura de pantalla antigua:

Sugerencia para @NgPh por encontrar esta página de Space College con un enlace al video ISEE_3 Original

Mientras encuentra algunos buenos ejemplos de patentes para agregar a la pregunta ¿ Maniobras de naves espaciales como propiedad intelectual? ¡Guau! , me encontré con esta patente:

US7744036B2 Método para diseñar una órbita de una nave espacial (J. Kawaguchi y K. Tarao, JAXA)

Puede hacer clic en el icono de PDF para descargarlo.

Mi pregunta proviene de leer las siguientes partes de estas dos secciones:

ANTECEDENTES DE LA INVENCIÓN

…Por cierto, estudios previos han revelado que si una órbita de Lissajous se amplía a una escala mucho más grande para entrar en un área no colineal, el efecto no lineal hace que la trayectoria de la nave espacial se cierre. Y la órbita de una nave espacial, si la nave espacial se coloca cerca del punto L2 puede evitar la sombra de la tierra y si la nave espacial se coloca cerca del punto L1, puede evitar el paso por delante del Sol. Cuando se ve desde la Tierra, parece un halo alrededor del sol y, por lo tanto, se llama órbita de halo...

y luego:

SUMARIO DE LA INVENCIÓN

Como se indicó anteriormente, la órbita del halo natural es ventajosa por el hecho de que es estable y dibuja un lugar geométrico cerrado sin ninguna operación de corrección artificial especial que mantenga el movimiento. Sin embargo, la órbita del halo natural conduce de manera desventajosa a una órbita extraordinariamente grande que debe partir de una línea colineal que conecta dos cuerpos celestes. La distancia puede ser tan grande como, por ejemplo, alrededor de un millón de kilómetros desde el punto de Lagrange al que se hace referencia aquí. Las órbitas de Halo naturales resultantes alrededor del punto L1 o L2 están demasiado lejos y muy alejadas de los puntos apuntados originalmente. Debido a esto, el mérito asociado con las órbitas de halo, es decir, no se necesita mantenimiento de la posición de una nave espacial, se pierde inevitablemente, si la trayectoria se controla y mantiene artificialmente...

Considero que esto significa que cuando un halo orbita alrededor de un $L_1$ o $L_2$ punto (digamos Sol-Tierra) es suficientemente grande, es (al menos dentro del modelo CR3BP ) realmente estable a pequeñas perturbaciones, es decir, no se requiere mantenimiento de estación para órbitas de halo suficientemente grandes sobre $L_1$ o $L_2$ .

Pregunta: ¿Es esto cierto? ¿Hay otras órbitas estables asociadas con puntos de Lagrange inestables?

Siempre había pensado que todas las órbitas alrededor $L_1$ o $L_2$ también eran igualmente exponencialmente inestables al igual que los puntos mismos (nuevamente, dentro del modelo CR3BP).

nota: no estoy haciendo una pregunta sobre esta patente. Me refiero a él solo por la declaración clara que hace sobre las órbitas de Halo: aquí es donde lo leí. La patente analiza una órbita de halo más pequeña mantenida artificialmente. Las órbitas de halo son una clase especial de órbitas de Lissajous donde los períodos dentro y fuera del plano son iguales para que permanezca "abierto" y alejado de la zona de exclusión central.

Figura 3 de la Patente US7744036B2:

moborg

Estoy pensando en eso desde hace dos días, y dudo cuál es la pregunta en realidad. Sin nota, todo claro, puedo ejecutar el modelo y verificar si es estable, sin nota, ¿solo pregunto sobre otras órbitas extrañas e interesantes? (conectado a puntos L)

UH oh

@MolbOrg gracias por su interés. Dentro de CR3BP

L_{1}

$L_1$ y

L_{2}

$L_2$ (y

L_{3}

$L_3$ ) son siempre inestables. Si bien una masa de prueba con velocidad cero colocada exactamente en esos puntos permanecerá fija, incluso la desviación matemática más pequeña en posición o velocidad dará como resultado un crecimiento exponencial de la desviación y, en unos pocos períodos, abandonará el área. Mi pregunta es: ¿hay algunas órbitas alrededor ?

L_{1}

$L_1$ o

L_{2}

$L_2$ que son estables , donde una pequeña desviación dará como resultado solo una órbita ligeramente diferente? Esta es una pregunta puramente matemática que necesita una respuesta sí/no con respaldo matemático o de referencia.

UH oh

@MolbOrg Estoy preguntando si existe tal órbita, no "¿ es estable la órbita X ?" Una órbita estable dentro de CR3BP sería entonces un punto de partida para la búsqueda de una órbita suficientemente estable en el mundo real donde las restricciones de CR3BP ya no se mantienen. En el lenguaje de "exploración espacial", eso se manifestaría como una nave espacial en una órbita de halo que no requeriría mediciones frecuentes del vector de estado ni maniobras de empuje de mantenimiento de posición para permanecer en la órbita durante, digamos, media docena de períodos (por ejemplo, >3 años para sol-tierra). ¡Puede ser muy útil conocer la existencia de tal órbita!

moborg

Entonces, su definición de órbitas estables es: más de 3 años sin maniobrar. tenga en cuenta que las soluciones CR3BP no serán un comienzo para buscar una órbita más estable, debido a los movimientos de venus, marte, baricentro y la solución es inestable por su naturaleza, por lo que es probable que el conjunto posible de soluciones en CR3BP no sea el mismo que una situación más general. Responder esto no será una tarea fácil, como ejemplo esto

UH oh

@MolbOrg en el caso de las órbitas alrededor del sol y la tierra

L_{1}

$L_1$ o

L_{2}

$L_2$ , media docena de órbitas es lo suficientemente larga como para descartar la inestabilidad exponencial, y lo suficientemente corta como para que esas perturbaciones no la eliminen por completo todavía, y potencialmente lo suficientemente larga como para que un satélite artificial realmente haga algo útil. La palabra "estable" es complicada: se le dan diferentes definiciones en diferentes contextos. Si estuviera tratando de encontrar un sol-tierra útil

L_{1}

$L_1$ o

L_{2}

$L_2$ en el mundo real, comenzaría buscando cerca de una solución CR3BP en lugar de simplemente comenzar a espantar con un generador de números aleatorios, pero solo soy yo.

UH oh

@MolbOrg el artículo es fascinante. ¡Muchas gracias! He estado mirando este durante semanas y me marea: (Doedel et al. 2007, Int. J. Bifurcation and Chaos, v 17, no. 8 (2007) 2625–2677) No puedo encontrar Sin embargo, un enlace para poner aquí que no está detrás de un muro de pago.

Deimofobia

Respuesta de evasión, pero si logra obtener su posición inicial con mucha precisión y su vida útil requerida no es tan larga, entonces no necesita el mantenimiento de la estación. Por supuesto, todas las cosas que necesita para el mantenimiento de la posición serían necesarias para el posicionamiento inicial.

Robotex

"El sitio spacecraftforall.com/a-new-orbit es interactivo" - este sitio no funciona

UH oh

@Robotex He agregado una nota en ese sentido, gracias

ng ph

Si desea una animación para ilustración, debe reemplazar el enlace roto por este ISEE-3 inicial

UH oh

@NgPh gracias y gran descubrimiento! Actualicé y también incluí un enlace al video en caso de que esa página también se evapore.

ng ph

Creo que debería agregar una explicación a la imagen "colorida" de la trayectoria ISEE-3 o eliminarla. La razón es que partes de esta trayectoria implican maniobras no relacionadas con las órbitas de halo (por ejemplo, la maniobra para sacarlo de la vecindad L1 donde había estado durante 4 años). En otro tema de la pregunta, puede pensar en abordar el uso impreciso del término "natural" en la patente japonesa. No olvide que la concesión de una patente no implica corrección técnica/científica (a diferencia de un artículo revisado por pares).

Respuestas (4)

¿Son algunas órbitas de Halo realmente estables? (órbitas estables sobre puntos de Lagrange inestables)

Estoy pensando en eso desde hace dos días, y dudo cuál es la pregunta en realidad. Sin nota, todo claro, puedo ejecutar el modelo y verificar si es estable, sin nota, ¿solo pregunto sobre otras órbitas extrañas e interesantes? (conectado a puntos L)
@MolbOrg gracias por su interés. Dentro de CR3BP $L_1$ y $L_2$ (y $L_3$ ) son siempre inestables. Si bien una masa de prueba con velocidad cero colocada exactamente en esos puntos permanecerá fija, incluso la desviación matemática más pequeña en posición o velocidad dará como resultado un crecimiento exponencial de la desviación y, en unos pocos períodos, abandonará el área. Mi pregunta es: ¿hay algunas órbitas alrededor ? $L_1$ o $L_2$ que son estables , donde una pequeña desviación dará como resultado solo una órbita ligeramente diferente? Esta es una pregunta puramente matemática que necesita una respuesta sí/no con respaldo matemático o de referencia.
@MolbOrg Estoy preguntando si existe tal órbita, no "¿ es estable la órbita X ?" Una órbita estable dentro de CR3BP sería entonces un punto de partida para la búsqueda de una órbita suficientemente estable en el mundo real donde las restricciones de CR3BP ya no se mantienen. En el lenguaje de "exploración espacial", eso se manifestaría como una nave espacial en una órbita de halo que no requeriría mediciones frecuentes del vector de estado ni maniobras de empuje de mantenimiento de posición para permanecer en la órbita durante, digamos, media docena de períodos (por ejemplo, >3 años para sol-tierra). ¡Puede ser muy útil conocer la existencia de tal órbita!
Entonces, su definición de órbitas estables es: más de 3 años sin maniobrar. tenga en cuenta que las soluciones CR3BP no serán un comienzo para buscar una órbita más estable, debido a los movimientos de venus, marte, baricentro y la solución es inestable por su naturaleza, por lo que es probable que el conjunto posible de soluciones en CR3BP no sea el mismo que una situación más general. Responder esto no será una tarea fácil, como ejemplo esto
@MolbOrg en el caso de las órbitas alrededor del sol y la tierra $L_1$ o $L_2$ , media docena de órbitas es lo suficientemente larga como para descartar la inestabilidad exponencial, y lo suficientemente corta como para que esas perturbaciones no la eliminen por completo todavía, y potencialmente lo suficientemente larga como para que un satélite artificial realmente haga algo útil. La palabra "estable" es complicada: se le dan diferentes definiciones en diferentes contextos. Si estuviera tratando de encontrar un sol-tierra útil $L_1$ o $L_2$ en el mundo real, comenzaría buscando cerca de una solución CR3BP en lugar de simplemente comenzar a espantar con un generador de números aleatorios, pero solo soy yo.
@MolbOrg el artículo es fascinante. ¡Muchas gracias! He estado mirando este durante semanas y me marea: (Doedel et al. 2007, Int. J. Bifurcation and Chaos, v 17, no. 8 (2007) 2625–2677) No puedo encontrar Sin embargo, un enlace para poner aquí que no está detrás de un muro de pago.
Respuesta de evasión, pero si logra obtener su posición inicial con mucha precisión y su vida útil requerida no es tan larga, entonces no necesita el mantenimiento de la estación. Por supuesto, todas las cosas que necesita para el mantenimiento de la posición serían necesarias para el posicionamiento inicial.
"El sitio spacecraftforall.com/a-new-orbit es interactivo" - este sitio no funciona
Si desea una animación para ilustración, debe reemplazar el enlace roto por este ISEE-3 inicial
@NgPh gracias y gran descubrimiento! Actualicé y también incluí un enlace al video en caso de que esa página también se evapore.
Creo que debería agregar una explicación a la imagen "colorida" de la trayectoria ISEE-3 o eliminarla. La razón es que partes de esta trayectoria implican maniobras no relacionadas con las órbitas de halo (por ejemplo, la maniobra para sacarlo de la vecindad L1 donde había estado durante 4 años). En otro tema de la pregunta, puede pensar en abordar el uso impreciso del término "natural" en la patente japonesa. No olvide que la concesión de una patente no implica corrección técnica/científica (a diferencia de un artículo revisado por pares).

usuario20022 · Answer 1

Considero que esto significa que cuando un halo orbita alrededor de un $L_1$ o $L_2$ punto (digamos Sol-Tierra) es suficientemente grande, es (al menos dentro del modelo CR3BP) realmente estable a pequeñas perturbaciones, es decir, no se requiere mantenimiento de estación para órbitas de halo suficientemente grandes sobre $L_1$ o $L_2$ .

Sí, esto es cierto, pero el diablo está en lo que significa "grande". Las órbitas estables de ninguna manera orbitan alrededor del $L_1$ o el $L_2$ puntos. Se alejan mucho del plano de la eclíptica, y un cuerpo en esas órbitas estables pasa poco tiempo en el eje Sol-planeta. Sucede que di una respuesta detallada a este mismo problema en otra pregunta hace un par de horas.

Esta es la estabilidad matemática de una órbita en el modelo CR3BP, no el sistema solar real, por lo que no es necesario que te disculpes por su forma;) Me tomaré/necesitaré algo de tiempo para leer tu excelente respuesta y tener una idea del tamaño. y la forma de la región estable como se traduciría en el sistema Sol-Tierra, luego vea si ISEE-3 estaba realmente en esta región o no. ¡Gracias!
Tenga en cuenta que las órbitas presentadas por Howell son para $\mu=0.04$ mientras $\mu=3\times 10^{-6}$ por Sol-Tierra. Las conclusiones no cambian cualitativamente iiuc pero sí el tamaño de las órbitas y sobre todo las mínimas $x$ y máximo $z$ cambiar de manera sistemática. Puedo agregar más sobre eso más adelante si lo desea.
¿Por qué no escribo una pregunta separada para mañana? Te dejaré un mensaje cuando esté publicado. Probablemente me referiré a las matemáticas aquí también. ¡¡Gracias!! (para tu información, la función de recompensa me pide que espere 24 horas antes de poder dártelo).
La implicación práctica de que la órbita sea grande debería ser que el cuerpo en órbita en algún momento llegará a un punto donde será perturbado por algún otro cuerpo en el sistema solar.

ange purs · Answer 2

Las órbitas periódicas alrededor de los 3 puntos colineales en el problema de 3 cuerpos con restricción circular son Liapunov y orbitalmente inestables. Estos puntos colineales están etiquetados como L1, L2, L3. Cada uno es un punto de equilibrio inestable en el CR3BP. Una nave espacial insertada en cualquier órbita periódica alrededor de cualquiera de los puntos colineales requerirá cierto mantenimiento de posición real para mantener su órbita periódica. NO hay discusión de valor sobre esto por el contrario.

Las órbitas de halo son casos muy especiales de órbitas de Lissajous y ocurren cuando existe una cierta relación no lineal específica entre las amplitudes en el plano (eclíptica o Tierra-Luna) y las amplitudes fuera del plano. Esto hace que las frecuencias no lineales en el plano y fuera del plano sean iguales. Por lo tanto, una órbita periódica tridimensional. No existe tal relación con las órbitas generales de Lissajous que, si se les da una evolución lo suficientemente larga, serán ergódicas en el espacio tridimensional de puntos colineales.

Las primeras referencias que deben ser investigadas y comprendidas tienen que ver con la misión ISEE-3 lanzada en 1978. Aparecerá el nombre de Bob/Robert Farquhar, ya que esta misión fue su idea y su "bebé". Él es el "padre" de la teoría y el uso de la órbita del halo. Su obra original se remonta a mediados de la década de 1960.

El artículo pionero sobre el desarrollo analítico de las órbitas periódicas del halo fue publicado en 1973 por Farquhar y Kamel: "Quasi-Periodic Orbits about the Translunar Libration Point", Celestial Mech, Vol 7, pp 458-473. La aplicación estrictamente al CR3BP fue publicada en 1980 por DL Richardson: "Construcción analítica de órbitas periódicas sobre los puntos colineales", Celestial Mech, Vol 22, pp 241 - 253.

El descubrimiento de órbitas halo estables de gran amplitud fue publicado en 1979 por Breakwell y Brown: Celestial Mech, Vol 20, pp 389 - 404. La estabilidad de estas órbitas se encontró aplicando la teoría de estabilidad FLOQUET usando integraciones numéricas. Ese documento se puede encontrar en muchos lugares en Internet. Acá hay uno:

https://www.eng.buffalo.edu/~psingla/Teaching/CelestialMechanics/HaloOrbitPaper.pdf

Esta reimpresión es de baja resolución por alguna razón.

Tal vez la información anterior se ocupe de las conjeturas, las opiniones personales y las inexactitudes expresadas anteriormente sobre este tema.

Aquí hay una respuesta bien recibida que se vincula a una respuesta más larga en Physics SE; hay algunas órbitas de halo estables sobre L1 y L2 en el CR3BP. Si desea decir que no las hay, tendrá que refutar ambas respuestas y las fuentes que citan.
Uhoh: La misión ISEE-3 en la que trabajé durante 4 años (haciendo trayectoria - análisis de la misión) orbitaba el punto colineal interior del sistema Tierra-Sol. Preguntar si la órbita de la misión ISEE-3 estaba en una "región estable" del punto colineal no tiene sentido. Toda la región de 3 pasos colineales cercanos es liapunov inestable. No hay región de estabilidad de valor PRÁCTICO. En amplitudes de alrededor de 900.000 km, las órbitas colineales se vuelven estables FLOQUET. Ver Breakwell y Brown, Celestial Mech, 1979. ISEE-3 requirió menos del 2% de su propulsor de hidracina asignado para el mantenimiento de la estación.
Usando la teoría de estabilidad de FLOQUET con integraciones numéricas de CR3BP, se ha encontrado que existen órbitas estables de gran amplitud alrededor de los 3 puntos colineales. Estas órbitas no tienen ningún valor práctico porque las perturbaciones de la luna (o el sol) y los planetas, así como los efectos de la excentricidad, hacen que estas órbitas no sean adecuadas para la mayoría de las misiones, a menos que tenga un sólido control de posición a bordo. Esto no ha sido estudiado extensamente ya que nadie puede pensar en una misión que se beneficiaría de órbitas como estas.
Uhoh: Sugieres que hay una respuesta bien recibida flotando. Si entiendo cómo funciona todo esto, la segunda oración de la "respuesta" bien recibida es un error. Las órbitas estables SÍ orbitan alrededor de L1 y L2 en el CR3BP. El respondedor debe realizar las investigaciones numéricas por sí mismo. Tengo. También Breakwell y Brown hace 45 años. Si el modelo de fuerza es más realista, estas órbitas no existen, pero CASI existen, lo que significa que sería necesario un mantenimiento activo de la posición. Nunca se ha explorado seriamente cuánto de eso sería necesario... y probablemente no lo será.
Está bien, es difícil interpretar la actitud desdeñosa y encontrar la crítica constructiva, pero estoy haciendo un esfuerzo concertado para hacerlo. Los sitios de Stack Exchange realmente prosperan cuando las personas trabajan juntas para llegar a un consenso sobre una respuesta, idealmente de una manera feliz y solidaria. No es necesario pero lo intentamos siempre que sea posible. Dado que mi pregunta solo se refiere al CR3BP que existe en matemáticas pero no en el mundo real, "práctico" no tiene nada que ver con esta pregunta. Iré y trataré de averiguar qué significa "floquet estable", idealmente una buena respuesta se lo explicaría al lector.
Las respuestas de "solo enlace" no se recomiendan en Stack Exchange. "Solo lea el documento y luego lo entenderá" no se considera una respuesta adecuada de Stack Exchange. Publiqué esta pregunta para facilitar la discusión y, con suerte, un consenso sobre un "sí" o "no" booleano primero, y luego pueden seguir los matices. Si en el CR3BP con un $\mu$ representante del sistema Sol-Tierra hay una órbita de halo que es de alguna manera estable frente a pequeños desplazamientos; forma una nueva órbita periódica cerrada en lugar de alejarse, entonces la respuesta a mi pregunta es "sí". Si no lo hay, entonces es "no".
Aquí hay una pregunta que hice hace varios años; Tendría que profundizar para ponerme al día sobre lo que estaba pensando en ese momento, pero si es posible, no dude en publicar una respuesta allí también. Diferentes tipos de estabilidad que se aplican a las órbitas periódicas planas, y ¿qué significan?
solo para tu información, no puedo cambiar mi voto en tu respuesta hasta que se edite, así es como está conectado el sitio. Se desaconseja agregar múltiples respuestas en sucesión corta; idealmente, continuamos editando y revisando nuestra respuesta hasta que sentimos que es lo que queremos, no solo seguir agregando más y más respuestas.
Para quien esté interesado, hay una copia descargable (mejor) de Breakwell&Brown.

ange purs · Answer 3

La mayoría de las preguntas sobre la estabilidad de la órbita colineal y el mantenimiento de la posición, etc., pueden responderse en varios artículos escritos por Robert Farquhar sobre su método de mantenimiento de la posición para la misión ISEE-3 de 1978. Busque este tema con su nombre. Sus documentos no son demasiado técnicos, y la mayoría de las personas con conocimientos matemáticos decentes pueden leerlos en busca de contenido.

El control de mantenimiento de la estación ISEE-3 fue extremadamente simple. Se imaginó un toroide de 40 km de radio sobre la trayectoria de la misión nominal (CR3BP), y el mantenimiento de la posición solo se aplicó cuando la nave espacial se acercó a los límites de este toroide imaginario. Las deambulaciones de importancia solo ocurrieron cuando la trayectoria de la nave espacial la acercó a los puntos finales del eje largo de la órbita, tal como se ve en el plano Sol-Tierra (eclíptica). Este esquema usó menos del 2% de la hidracina total de mantenimiento asignada para toda la misión.

Si se hubiera dejado desatendida, la nave espacial habría "perdido" el giro del eje largo (piense en el perigeo/apogeo) de su trayectoria, y después de aproximadamente la mitad de un período orbital más tarde, se dirigiría directamente hacia el sol. Este comportamiento se verificó en simulaciones muchas veces mediante integraciones numéricas de un modelo de fuerza muy detallado. La inestabilidad orbital en el mundo real siempre estuvo presente en la trayectoria de la misión ISEE-3, pero esas perturbaciones del mundo real fueron sorprendentemente muy fáciles de manejar.

ng ph · Answer 4

Me arriesgo a enviar esta respuesta. No porque tenga experiencia laboral o haya asistido a cursos de posgrado en astrodinámica o similares. Es más bien porque la pregunta despertó mi curiosidad y descubrí hermosos conceptos/tecnologías, leyendo varios recursos bibliográficos recomendados por los que respondieron.

Quizás también se deba a que, a mi entender final, los dos respondedores concuerdan entre sí. ¡Además, llegaron a este acuerdo citando más o menos la misma fuente! No puedo entender por qué hubo una disputa entre el OP y el segundo respondedor (@Ange Purs) sobre la corrección de la primera respuesta (@user20022), que aceptó el OP.

Primero, repasemos la parte principal de la pregunta (énfasis añadido):

... cuando una órbita de halo alrededor de un punto L1 o L2 (digamos Sol-Tierra) es suficientemente grande , es (al menos dentro del modelo CR3BP) realmente estable a pequeñas perturbaciones, es decir, no se requiere mantenimiento de estación para un halo suficientemente grande orbita alrededor de L1 o L2 . P: ¿Es esto cierto? ... Siempre había pensado que todas las órbitas alrededor de L1 o L2 también eran exponencialmente inestables de manera similar al igual que los puntos mismos (nuevamente, dentro del modelo CR3BP) .

Ahora, solo para aquellos que aún no están familiarizados con la terminología utilizada (como yo antes), el OP se refería a órbitas alrededor de (2 de) los puntos de equilibrio que llevan el nombre del matemático francés Joseph-Louis Lagrange que los descubrió (1772 ) . Suelen llamarse "puntos lagrangianos", también "puntos de libración".

La clase de trayectorias que harían que una nave espacial se mantuviera en las cercanías de estos puntos, sin correcciones de órbita o con correcciones limitadas, es de evidente interés para la Exploración Espacial. Esto se debe a que los puntos lagrangianos permanecen, matemáticamente, a distancias fijas de los 2 cuerpos celestes que los definen. Piense en ello como una extensión del concepto Geosynchronous, aunque la analogía es incorrecta (¡como lo son todas las analogías!). Entonces, mientras los cuerpos se mueven en el espacio, una nave espacial que "abraza" estos puntos de equilibrio también estará a distancias limitadas de los 2 cuerpos celestes, en lugar de alejarse a una velocidad "exponencial", después de un tiempo.

Una órbita de "halo" es una subclase de estas trayectorias (más sobre esto más adelante). Investigados por primera vez por Farquhar en su tesis doctoral ("The Control and Use of Libration-Point Satellites", 1968), desde entonces han visto múltiples usos prácticos, siendo el International Sun-Earth Explorer-3 (o ISEE-3) la primera nave espacial para explotar esta posibilidad. El tributo de la NASA a Farquhar después de su muerte escribió:

Una de las misiones previas al APL más famosas de Farquhar fue el International Sun Earth Explorer-3, o ISEE-3, lanzado en agosto de 1978 para estudiar el clima espacial. ISEE-3 fue la primera misión en explotar el desarrollo de Farquhar de "órbitas de halo" alrededor de los puntos de libración, donde se equilibra la atracción gravitatoria de dos cuerpos celestes. Después de que se cumplió la misión inicial de ISEE-3, Farquhar y su antiguo colaborador David Dunham diseñaron una intrincada serie de órbitas y encendidos de motores que alejaron la nave espacial de la Tierra para realizar el primer encuentro con un cometa. Rebautizada como International Cometary Explorer (ICE), la nave espacial hizo un paso de libro de texto a través de la cola del cometa Giacobini-Zinner el 11 de septiembre de 1985.

Pero el OP ha optado por enmarcar explícitamente la pregunta en el ámbito de un modelo matemático, el problema circular restringido de 3 cuerpos (CR3BP). En esencia, la pregunta del OP puede interpretarse como: Ignorando las imperfecciones del mundo real (como lo hace el modelo CR3B), ¿existe una clase de órbitas que, por sí sola, la gravedad puede mantener una nave espacial indefinidamente en las cercanías del punto de libración, esto a pesar de alguna pequeña fuerza instantánea, natural o artificial, que actúe sobre la nave espacial? Las imperfecciones del mundo real son, por ejemplo: la presencia de otros cuerpos celestes, las órbitas no circulares de los 2 cuerpos celestes de interés, ...

Desafortunadamente, para justificar la pregunta, el OP tomó un extracto de un texto de patente (otorgado a JAXA en 2010. JAXA es el equivalente de la NASA en Japón). Esto desdibujó el objetivo de limitar las discusiones a soluciones en el dominio teórico (y algo irritó al segundo respondedor). Recuerde que las patentes se otorgan en base a demostraciones de uso práctico (entre otras cosas). Si bien sus afirmaciones deben construirse con cierto formalismo legal, los revisores rara vez las juzgan por su corrección técnica/científica. Por lo tanto, no espere que la terminología o cualquier declaración en una patente sea 100 % científicamente correcta.

La primera respuesta (@user 20022, junio de 2017)

Esta respuesta es un "Sí, pero". Proporcionó un enlace a una discusión más extensa en Physics SE.

Sucede que di una respuesta detallada a este mismo problema en otra pregunta hace un par de horas.

La respuesta detallada es una discusión de los resultados publicados en 1984 por Kathleen Howell , quien es indiscutiblemente una figura académica reconocida en este campo. El documento se titula "Órbitas de halo periódicas tridimensionales".

La segunda respuesta (@Ange Purs 26 de noviembre, 9:09) .

recomendó que buscáramos publicaciones de Farquhar y un artículo de John Breakwell.

.... El descubrimiento de órbitas halo estables de gran amplitud fue publicado en 1979 por Breakwell y Brown: Celestial Mech, Vol 20, pp 389 - 404. La estabilidad de estas órbitas se encontró aplicando la teoría de estabilidad FLOQUET usando integraciones numéricas.

Ahora, resulta que John Breakwell es el supervisor de doctorado tanto de Howell como de Farquhar. De hecho, Howell y Farquhar son coautores de un artículo en reconocimiento a las contribuciones científicas de Breakwell ("John Breakwell, the Restricted Problem and Halo Orbits", Acta Astronautica Vol. 29, no 6, pp 485-488, 1993).

Aquí hay extractos relevantes de los resúmenes de las publicaciones citadas por los dos respondedores:

Breakwell & Brown 1979 (énfasis añadido):

Las órbitas del halo, que se originan en las proximidades de L1 y L2, se hacen más grandes, pero de período más corto, a medida que se desplazan hacia la Luna. Hay en cada caso una banda estrecha de órbitas estables , aproximadamente a medio camino de la Luna.

Howell 1984 (énfasis añadido):

Se realizó un estudio en gran parte numérico de familias de órbitas de "halo" periódicas tridimensionales cerca de los puntos de libración colineales en el problema restringido de tres cuerpos ... Parecen existir para todas las proporciones de masa μ, de 0 a 1. Más importante aún, la mayoría de las familias contienen una gama de órbitas estables .

MI CONCLUSIÓN/RESPUESTA

En mi opinión, es suficiente citar a Breakwell y Howell para responder claramente a la pregunta del OP (como "Sí", como lo hicieron los dos respondedores anteriores) , en este sitio SE. No hay necesidad de sumergir al lector en conceptos matemáticos complicados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, a menos que sea para una audiencia de Física SE o Matemáticas SE. No hay necesidad de divagar sobre la estabilidad de otras clases de órbitas, como Lyapunov, Lissajous, etc. Por otro lado, es perfectamente legítimo discutir aquí la practicidad de las órbitas de halo estables. Pero está claramente fuera del tema de esta pregunta en particular, por la forma en que está formulada. Ciertamente sería un tema emocionante para una pregunta complementaria.

¿Son algunas órbitas de Halo realmente estables? (órbitas estables sobre puntos de Lagrange inestables)

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ANTECEDENTES DE LA INVENCIÓN

SUMARIO DE LA INVENCIÓN

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