¿Cuál es el ángulo óptimo para una vela solar desorbitada hacia el Sol cuando se incluye el empuje radial?

En esta respuesta hay una derivación geométrica del ángulo óptimo de una vela solar para desorbitar una nave espacial hacia el Sol.

La respuesta ingenua es 45°, lo que dirigiría la luz reflejada directamente en progrado, pero un ángulo menos profundo (reflejándose ligeramente hacia el sol (o nadir) para progradar) parece aumentar sustancialmente el área en la que la vela recoge la luz solar en comparación con la pérdida en el componente progrado de el empuje (luz solar reflejada). El valor que se da allí es de unos 35° en lugar de los ingenuos 45°.

¡Pero espera hay mas!

En esta respuesta, muestro que para un escenario modesto y realista ( LightSail-2 ) con una masa de cubesat de 5 kg y una vela solar de 32 m ^ 2 a 45 grados, el componente radial reduce la aceleración radial neta en aproximadamente 0.3 % e inclinarse hacia el sol de 45 ° a ~ 35 ° lo haría más grande y, por supuesto, para una relación área / masa más grande, la reducción sería aún mayor.

Lo que eso significa es que la fuerza central es menor, por lo que la velocidad orbital también es menor y, por lo tanto, el mismo delta-v dará como resultado un gran movimiento hacia el Sol.

Entonces, para la salida de órbita más rápida hacia el Sol (podría ser Venus o Mercurio), ¿cuál es el nuevo ángulo óptimo cuando no se ignora el empuje radial?

El ángulo dependerá de la relación área/masa, por lo que sería interesante hacer más casos, pero al menos hacer el actual; 5kg, 32m^2. Supongo que cambia solo un cuarto de grado, pero no lo sé, y podría ser más grande para una relación área/masa más grande.

Le invitamos a comenzar con el script de Python o cualquier otro aspecto de la respuesta vinculada . Tenía prisa y lo conecté a 45°.

Supongamos una órbita circular inicial, y eso significa que la velocidad inicial será un poco más lenta que la que hice para igualar la aceleración radial neta reducida.

Los cálculos que hice en la otra respuesta simplemente asumen que la velocidad radial está lo suficientemente cerca de cero como para ignorarla. Si eso es cierto, entonces casi todo lo demás (masa, velocidad, etc.) no importa.
@BowlOfRed Parece que leí mal el historial de edición y pensé que alguien más había hecho lo que yo llamé una "edición improvisada" a su pregunta. Eliminé el comentario allí y ajusté la redacción aquí. ¡Por supuesto, creo que es fantástico cuando la gente "hace cuentas"!
Aproximadamente 37 grados. A medida que inclina la vela, la luz interceptada disminuye en cos(alfa), pero aumenta la componente del empuje neto perpendicular al radio desde Sol. Ver el texto de Colin. R. McInnes.
Lo sentimos, fue interrumpido y se agotó el tiempo de espera. La fuerza total va como cos(alfa)^2, siendo alfa la inclinación desde la cara hasta el Sol. El componente perpendicular a la línea Sol que cambia el momento angular es sin(alfa)cos(alfa)^2, con un máximo en tan(alfa)^2 = 0,5. Después de que su momento angular caiga a cero, tire la vela y caiga directamente a Sol.
@MBM sería una vela solar extraordinariamente grande y liviana para poder simplemente detenerse y caer radialmente en la práctica, pero es interesante pensar en teoría.
McInnes (página 265) grafica la órbita de inversión H de Vulpetti para alfa – 40 grados, beta = 1,0. Este es un velero con muy poca carga, pero después de unos 160 días, el camino apunta directamente a Sol. Con beta = 0.1, puede tomar varias órbitas del Sol, pero eventualmente el perihelio será más pequeño que el radio solar. Para una espiral logarítmica que comienza en 1 au con alfa = -40 grados y beta = 0,1, gamma = 4,53 grados, y la órbita apenas rozará el Sol después de 500 días
¡@MBM eso suena muy interesante! Intentaré localizar una copia y echar un vistazo... springer.com/us/book/9783540210627
@MBM lo crea o no, no puedo encontrar una copia en ninguna biblioteca cercana, ni tan cerca, y hasta ahora, cuando busco libros en Google, no encuentro números de página cerca de allí. Si puede publicar una respuesta y agregar una captura de pantalla o citas en bloque a las partes relevantes, ¡sería genial!
Uhoh, lo siento por la respuesta tardía, a menudo estoy lejos de Internet. Actualmente mi copia de Solar Sailing está prestada. El texto de McInnes es muy superior al de Friedman, Vulpetti o Wright, y vale el alto precio, pero los errores de imprenta pueden confundir las matemáticas. Enumero las erratas conocidas en solarsailingnotes.popelak.info/#orbit1 . Algún día, una segunda edición agregará nuevos materiales y diseños, y la experiencia de IKAROS y LightSail, pero aún no. u3p.net/u3p_fr/Accueil_U3P.html tiene simulador.
@MBM, ¿estás lejos de Internet porque estás navegando con energía solar? ¡Muy lindo! Está bien, intentaré buscar eso y echar un vistazo, gracias. Puedo imaginar que un alambique solar aún podría funcionar en el espacio, pero recolectar agua de mar es difícil de hacer, excepto en algunas lunas de Júpiter y Saturno. Pero para esta pregunta tengo el presentimiento de que la solución debe ser numérica, aunque siempre existe la posibilidad de que también haya una aproximación analítica para espirales graduales. Puedo tomar una grieta yo mismo ya que nadie ha mordido.
Conozco tres órbitas simples de veleros. De canto a Sol (Alfa = 90), cónica regular de Kepler. Frente a Sol (A = 0), Kepler con (mu)(1-Beta), parámetro gravitatorio modificado. Es posible que desee una espiral logarítmica con ángulo de vuelo Gamma (RH Bacon (1959). Requiere (tanG/(2+(tanG)^2) = (B*(cosA)^2*sinA)/(1-B*(cosA) )^3). Si para algún R, la velocidad^2 = (mu/R)(1-B*(cosA)^3+B*(cosA)^2*sinA tanG), es cierto para todo r. Sustituir para TanG. Tiempo delta = (R^1.5 – r^1.5)*(2/(B mu sinA tanG))^0.5/(3*cosA). Para 0.05<B<0.15 y 30<A<37, Terra a Marte tarda entre 300 y 900 días. Orbita de Hohmann 259.
@uhoh Interesante problema. De los diversos comentarios, parece que esto ya está bien estudiado y que la forma más rápida de cambiar la energía orbital da como resultado una espiral logarítmica (ángulo constante). Dicho esto, puede llegar gradualmente al infinito a velocidad cero, pero nunca puede exceder la velocidad de escape a menos que la aceleración radial máxima de la vela solar exceda la aceleración gravitacional. Entonces la espiral se convierte en una línea radial recta hacia afuera. Girar en espiral hacia adentro es diferente y tarde o temprano llegarás al radio del sol. Calcular el tiempo para eso parece un poco complicado.

Respuestas (1)

Suponiendo que haya entendido las restricciones correctamente, tiene una vela solar en una trayectoria en espiral (muy suave) hacia adentro y desea sangrar la energía orbital a la velocidad más alta posible.

Teniendo en cuenta los casos extremos, esta no siempre es la forma óptima de reducir el tiempo de transferencia. Imagine, por ejemplo, caer directamente hacia el sol, sin velocidad perpendicular. Tener la vela orientada hacia el Sol reducirá claramente la energía orbital, pero sería contraproducente para estrellarse contra el Sol lo más rápido posible. El escenario opuesto, escapando del sistema solar, tiene soluciones ideales donde se aumenta la apoapsis y se reduce el periapsis, hasta que se puede usar una inmersión para alcanzar la velocidad de escape (esto no es reversible en el tiempo).

Pero para el escenario en cuestión, tenemos las siguientes condiciones:

  1. Las velas solares tienen un empuje proporcional a porque 2 ⁡ ( θ ) , con un porque 3 ⁡ ( θ ) componente radial y porque 2 ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( θ ) componente tangencial. (Dónde θ es el ángulo entre la normal de la vela y la dirección del sol. Esto viene de descomponer el vector de empuje , que es de magnitud porque 2 ⁡ θ ).
  2. La aceleración tangencial a la velocidad no afecta la energía orbital.

Si luego introducimos otro ángulo, β , que es el ángulo entre la velocidad perfectamente perpendicular y la velocidad real (positiva hacia el Sol), el ángulo ideal vendría de maximizar el efecto de las dos componentes:

porque 2 ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( θ ) ⋅ porque ⁡ ( β ) + porque 3 ⁡ ( θ ) ⋅ pecado ⁡ ( β )

En el caso de la velocidad perpendicular ( β ≈ 0 ), esto es θ = 2 broncearse − 1 ⁡ ( 5 − 2 6 )

¡Pero el caso general en realidad tiene una solución analítica!

θ = 1 2 ( porque − 1 ⁡ ( porque ⁡ ( β ) 3 ) − β )

Esto no se mantiene constante como β cambios, que un simple argumento de escala debería indicar: a la mitad de la distancia del sol, la vela proporciona 4x la aceleración, pero la velocidad orbital circular es solo 2 veces más grande, lo que significa que la espiral no tiene un "ángulo de ataque" constante.

@UH oh θ es el ángulo entre el vector normal y la dirección hacia el Sol. Las componentes radial y tangencial resultan de descomponer un vector de magnitud porque ⁡ 2 θ . En cuanto a la obtención de eso, casi cualquier papel de vela solar, como este , debería ser suficiente. (observe las ecuaciones 3 y 4),
@SE: deja de despedir a los buenos. Buen análisis. Puede que me equivoque, pero para una vela solar débil y una beta pequeña, estoy concluyendo que el resultado será una espiral logarítmica muy poco profunda con una beta constante. Tengo empuje como 1/r^2, velocidad como 1/sqrt(r), potencia como 1/r^(5/2), período como r^(3/2) y, por lo tanto, pérdida de energía por revolución. como 1/r. Dado que dEnergy/dr va como 1/r^2, esto significa que el cambio en el radio por revolución es proporcional a r, lo que da una espiral logarítmica con beta constante. De todos modos, creo que esta tiene que ser la respuesta ya que no hay un parámetro de escala absoluto en el problema.
@RogerWood ¡Es bueno escuchar que la versión beta se mantiene constante en condiciones realistas!
@uhoh: esa es una madriguera de conejo tentadora si alguna vez vi una...
Aprecio el trabajo que se ha realizado en esta respuesta, así que +100, pero aún no lo entiendo, principalmente porque sigo retrasando el tiempo para revisarlo con cuidado. Estoy seguro de que el empuje es proporcional a porque 2 ⁡ ( θ ) puede mostrarse, pero menos seguro de que cualquier efecto del componente radial en el resultado final pueda descartarse agitando la mano sin mostrarlo rigurosamente. Veo que con β = 0 la expresión tiene un máximo en θ = 2 broncearse − 1 ⁡ ( 5 − 2 6 ) pero β = 0 en el caso general analítico, la expresión da una diferencia θ .
Eventualmente, escribiré un guión y solo probaré un montón de casos para confirmar una vez que se resuelva el posible desacuerdo entre los dos theta, pero eso llevará tiempo porque es fácil hacerlo incorrectamente dado que parece que no entiendo bien los vectores de fuerza de la vela solar .
@uhoh para β = 0 , tengo la igualdad 2 broncearse − 1 ⁡ ( 5 − 2 6 ) = 1 2 ( porque − 1 ⁡ ( 1 3 ) )
Ya entiendo eso también ahora, extraño. Lo intenté varias veces y seguí obteniendo algo así como 53 ° para la expresión general con β = 0 así que debo haber estado cometiendo el mismo extraño error cada vez. Voy a atribuir eso al cerebro anterior al café. ¡Gracias por la respuesta!
¿Cuál es el ángulo óptimo para una vela solar desorbitada hacia el Sol cuando se incluye el empuje radial?
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