¿Puede haber una órbita de tres cuerpos energéticamente ilimitada donde el escape sea imposible debido a la conservación del momento angular?

Esta pregunta evolucionó a partir de una discusión debajo de esta respuesta que explica (entre otras cosas) que la energía total de un sistema ofrece una idea de la posibilidad de que uno (o todos) los miembros "se escapen".

La energía total sería la suma de las energías cinética y potencial

mi = ∑ i = 1 3 1 2 metro i v i 2 − ∑ i = 1 3 ∑ j > i 3 metro i metro j r i j .

¿Puede haber alguna órbita de tres cuerpos que sea energéticamente ilimitada ( mi > 0 ) pero donde todavía es imposible que alguno de los objetos escape debido a la conservación del momento angular?

Posiblemente útil: Ecuaciones de movimiento para el problema de n cuerpos

notas:

  1. No estoy preguntando si existen órbitas que son cerradas y periódicas donde el escape es imposible por esa razón.
  2. No he escrito una expresión para el momento angular porque hay flexibilidad sobre en qué punto se calcula.

Aclaración de Batominovski sobre la generosidad (como lo señaló Angela Pretorius en un comentario). La energía debe medirse con respecto al marco del centro de masa del sistema. Es decir, la condición

∑ i = 1 3 metro i v i = 0
se hace cumplir

† Basado en los comentarios aquí y mi sospecha que he corregido i ≠ j a i > j para el término de energía potencial para evitar la doble contabilidad.

Con respecto al enlace anterior, creo que su publicación está bien aquí, aunque creo que podría obtener una respuesta más rápida si publica en el foro de física.
@WETutorialSchool gracias, estoy buscando una respuesta definitiva, por lo que la rapidez no es tan importante.
Cuando participé en una versión inicial de este proyecto , aprendí un poco sobre las diferencias entre órbitas cuasi periódicas, caóticas y ergódicas en varios potenciales, como una forma de describir partículas que tienen suficiente energía para escapar de una trampa pero no t por alguna razón relacionada con la simetría. Podría ser un término de búsqueda útil.
@rob Justo cuando pensé que me sentaría y trabajaría hoy, ve y muéstrame algo brillante :-)
Mi sugerencia es publicar la pregunta en Mathoverflow.
Parece poco probable, porque a medida que una masa se aleja mucho, puedes darle un gran momento angular al darle una pequeña velocidad tangencial, lo que no afectaría significativamente las otras leyes de conservación.
@MoisheKohan Ciertamente estoy abierto a que se migre allí si mejora los cambios de una respuesta definitiva.
Simplemente haga una pregunta en MO y proporcione un enlace a la publicación de MSE.
@MoisheKohan Lo entiendo, pero me siento incómodo con las publicaciones cruzadas, lo cual se desaconseja encarecidamente sin circunstancias especiales y la bendición de un moderador.
@uhoh: La publicación cruzada está bien, siempre que indique claramente en MO que se trata de una publicación cruzada y proporcione un enlace a la pregunta MSE. Me pasó en el pasado: hice una pregunta primero en MSE, luego en MO; fue bien recibido, pero resultó ser un duplicado de una pregunta anterior de MO, por lo que se cerró por ese motivo.
Debo señalar que la energía cinética de un sistema se puede hacer muy alta cambiando el marco de referencia. Hay sistemas energéticamente ilimitados que no se escapan entre sí , pero supongo que en realidad te estás preguntando si hay sistemas energéticamente ilimitados que no escapan de un punto que tiene velocidad cero en el marco de referencia elegido.
@Batominovski, gracias por su ayuda y por agregar la +200recompensa, lo que resultó en una mayor atención. Todavía no se ha publicado una respuesta concluyente, pero espero que eventualmente surja algo.
Voté para cerrar esto como poco claro. Porque no me queda claro qué calificaría como una respuesta. Una configuración dada conduce a un escape o no lo hace. ¿Qué tiene eso que ver con la conservación del momento angular? Lo cual es, después de todo, una consecuencia de las ecuaciones de movimiento.
@JyrkiLahtonen algunas configuraciones no conducirán a un escape porque son energéticamente incapaces, algunas no lo harán porque están cerradas. Esas son distinciones importantes e interesantes aunque ambas son consecuencias de las ecuaciones de movimiento. ¿Por qué discriminaría específicamente contra el momento angular y no esas otras dos razones? Gracias por su comentario, pero no entiendo por qué tomaría medidas para evitar que otros respondan mi pregunta y quizás la suya también.
La razón por la que protesto es que no deja en claro qué significa que "no hay escape" se debe a la conservación del momento angular. ¿Cómo espera lograr la implicación "conservación del momento angular"? ⟹ "no hay escapatoria"? O, en otras palabras: dada una configuración inicial sin escape, ¿cómo podemos decidir que el no escape se debe específicamente a la conservación del momento angular? Particularmente porque el momento angular se conserva en todas las configuraciones, escape o no.
@JyrkiLahtonen está bien, gracias por la aclaración. Es posible que esto ya se haya demostrado, y una respuesta a mi pregunta podría citar una fuente donde podría descubrir cómo se argumentó esto. No sé si esto se puede hacer o no, que es mi motivación para hacer la pregunta. Agradezco sus comentarios, pero no sé cómo abordar su voto cercano; No puedo responder esto para demostrar cómo se puede responder.
@JyrkiLahtonen Si está seguro de que no puede haber una respuesta de sí o no porque la pregunta no tiene sentido matemáticamente, ¡quizás esa sea la respuesta a mi pregunta! Si publica una respuesta como tal y es bien recibida por otros, entonces puedo hacer clic en aceptar y todos nos hemos beneficiado. Pero si no está seguro, ¿por qué impedir que otros tengan la oportunidad de responder?
¿Puede ser que esté buscando una configuración en la que haya un argumento elegante que involucre la conservación del momento angular que lleve a la conclusión de que nunca se producirán escapes? Ese sería el tipo de pregunta en la que "sabemos que esta es una respuesta cuando la vemos", pero no habría forma de probar que tal configuración no existe, a menos que las reglas del juego sean muy precisas. Rascarme la cabeza. No estaré triste, si esta pregunta escapa al cierre. Pero no estoy seguro de que encaje bien aquí.

Respuestas (1)

La respuesta es no... la conservación del momento angular, por sí misma, no se puede usar para probar la acotación de un sistema de 3 cuerpos con energía total positiva (en el marco donde el centro de masa está estacionario en el origen). Para suficientemente grande t , todos los cuerpos que escapan (debe haber al menos 2) tendrán velocidades esencialmente fijas v i y posiciones que evolucionan linealmente X i + t v i . El momento angular total es ∑ i ( X i + t v i ) × metro i v i = ∑ i metro i X i × v i , también una constante. Pero tenga en cuenta que el momento angular se puede cambiar a cualquier valor sin cambiar la energía total, el momento total o el centro de masa, agregando compensaciones apropiadas al X i . (Mantener fijo el centro de masa impone una restricción vectorial sobre estas compensaciones; dado que al menos dos cuerpos se escapan, queda al menos un grado de libertad vectorial).

En resumen, la conservación del momento angular no te ayuda porque cada "escenario de escape" pertenece a una clase de escenarios de equivalencia (con la misma energía y momento totales) que difieren solo en sus momentos angulares.

No estoy muy seguro de cómo esta publicación responde a la pregunta. ¿Podría por favor elaborar? Esta publicación parece probar solo que, cuando hay al menos dos cuerpos que escapan, entonces el momento angular total se puede cambiar arbitrariamente sin cambiar la energía total. mi . La pregunta es si existe un sistema acotado con energía total mi > 0 que está acotado debido a la conservación del momento angular.
@Batominovski No me queda claro qué significa la frase limitada porque se conserva el momento angular . En particular a los efectos de la prueba de la negación. Lógicamente, una respuesta podría ser un escenario, donde el escape es posible si violamos la ley de conservación del momento angular, pero dudo que ese sea el significado pretendido :-)
(continuación) Quiero decir, un sistema de tres cuerpos se comporta de manera determinista bajo la mecánica newtoniana. Por lo tanto, o habrá un escape o no lo habrá. ¿Qué tiene esto que ver con la conservación del momento angular , que, IIRC, es una consecuencia de ciertas simetrías en la mecánica newtoniana?
@Jyrki Lahtonen, "o habrá un escape o no lo habrá": si habrá un escape o no y bajo qué circunstancias o suposiciones esto sucede, en general puede ser un problema matemático muy delicado e interesante, en varios diferentes configuraciones Entonces, a mi entender, la pregunta es muy interesante y es una pregunta que naturalmente se dirige a los matemáticos. Dudo que physics.stackexchange sea un buen lugar para preguntar esto y obtener una respuesta concreta: los físicos que pueden responder tales preguntas son en realidad matemáticos.
@KonKan Soy consciente (en algún nivel) de las complejidades. Y naturaleza caótica de 3 sistemas corporales. Estoy más preocupado por cómo el autor de la pregunta podría decidir que cualquier ejemplo en particular funciona específicamente "debido a la conservación del momento angular". Estoy de acuerdo en que el problema es matemáticamente muy desafiante, pero el significado de la pregunta no está claro.
¿Puede haber una órbita de tres cuerpos energéticamente ilimitada donde el escape sea imposible debido a la conservación del momento angular?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v