Hamiltoniano traslacionalmente invariante y propiedad de los estados propios de energía

No , no existe tal requisito. Es bastante fácil encontrar contraejemplos en los que tiene hamiltonianos invariantes en la traducción que tienen estados propios de energía localizados sin tal invariancia en la traducción. En particular, la declaración que hace,

la invariancia traslacional conduce a un estado propio de energía que está deslocalizado en el espacio,

es falsa en general, dada la comprensión razonable de lo anterior en la declaración más precisa

si$H$es invariante tras la traducción y$|\psi\rangle$es una función propia de$H$, entonces$|\psi\rangle$también tiene que ser invariante de traducción

que no aguanta.

Para hacer un simple contraejemplo a la declaración anterior, considere el hamiltoniano para una partícula libre en dos dimensiones,$H=\frac12(p_x^2+p_y^2)$, que obviamente tiene invariancia traslacional y autofunciones traslacionalmente invariantes de la forma

$$\langle x,y|p_x,p_z\rangle = \frac{1}{2\pi} e^{i(xp_x+yp_y)}.$$ Sin embargo, no existe ningún requisito de que las funciones propias sean así y, de hecho, puede formar funciones de onda rotacionalmente invariantes que tengan una localización clara en el origen tomando superposiciones en fase de ondas planas en la forma $$|p,l\rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{il\theta}|p\cos(\theta),p\sin(\theta)\rangle \mathrm d\theta.$$ Estos son algo más fáciles de entender en coordenadas polares, donde tienes $$\begin{align} \langle r,\theta|p,l\rangle & = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \langle r,\theta|p\cos(\theta'),p\sin(\theta')\rangle e^{il\theta'}\mathrm d\theta' \\ & = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{2\pi} e^{ipr(\cos(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\sin(\theta'))} e^{il\theta'}\mathrm d\theta' \\ & = \frac{1}{(2\pi)^2} e^{il\theta}\int_0^{2\pi} e^{ipr\cos(\theta'-\theta)} e^{il(\theta'-\theta)}\mathrm d(\theta'-\theta') \\ & = \frac{i^{l}}{2\pi} e^{il\theta} J_{l}(pr) , \end{align}$$ que son obviamente las soluciones de armónicos cilíndricos separables de la ecuación de Schrödinger en dos dimensiones. Esto significa que son funciones propias legítimas de $H$, pero no tienen absolutamente nada que ver con la simetría de traslación. En cambio, son funciones propias de la simetría rotacional de $H$- y, de hecho, los estados de onda plana con los que comenzó son excelentes ejemplos de cómo un hamiltoniano rotacionalmente invariante puede tener funciones propias que no respetan esa simetría.

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Dicho esto, si realmente está buscando un análogo del resultado inicial que indicó,

si el hamiltoniano es invariante de paridad, entonces los estados propios de energía no degenerados son pares o impares

entonces sí, es posible, pero es absolutamente crucial tener valores propios no degenerados. (Por supuesto, esto también es cierto en el caso de la paridad, y si tiene estados propios pares e impares con el mismo valor propio, entonces es trivial construir estados propios de paridad mixta que no tengan una simetría definida).

Si logra encontrar un hamiltoniano invariante traslacionalmente$H$tal que$[H,T_a]=0$y algún valor propio$p$no es degenerado (como, por ejemplo,$p=0$para una partícula libre como el único caso físicamente relevante), entonces sí, el estado propio$|\psi_p\rangle$debe ser traduccionalmente invariante, ya que$T_a|\psi_p\rangle$debe ser un estado propio del mismo valor propio, y por no degeneración debe ser proporcional a$|\psi_p\rangle$, es decir$T_a|\psi_p\rangle = e^{i f(a)}|\psi_p\rangle$, entonces$|\psi_p\rangle$es traduccionalmente invariante.

Sin embargo, es muy poco probable que encuentre hamiltonianos no triviales y físicamente significativos que sean invariantes traslacionalmente pero no invariantes de paridad, por lo que siempre tendrá al menos una degeneración de energía doble en todos los valores propios distintos de cero, lo que hace que el argumento anterior sea en gran medida inútil.

Me parece que te interesaría el siguiente teorema:

Si dos operadores$A$y$B$conmutar, podemos encontrar una base propia conjunta de vectores$|a, b\rangle$de modo que$A |a,b \rangle = \lambda_a\, |a,b\rangle$y$B |a,b \rangle = \mu_b\, |a,b\rangle$.

Apliquemos esto a los sistemas de los que está hablando:

• Si Hamilton es invariable en paridad, eso significa$[H,P] = 0$. Entonces, por el teorema anterior, podemos elegir la base propia de$H$de tal manera que cada vector propio$|n\rangle$tiene paridad definida,$P|n\rangle = \pm |n\rangle$. De esto concluimos

  $$\psi_n(x) = \langle x | n \rangle = \pm \langle x | P | n \rangle = \pm \langle -x | n \rangle = \pm \psi_n(-x) \;.$$

• Dejar$T_x$ser una traducción por$x$. Si Hamilton es invariante en traslación (simetría continua), entonces$[H, T_x] = 0$para todos$x$. Recordar

  $$T_x = \exp\left( -\frac {\mathrm i} \hbar x\, p \right)$$ (dónde$p$es el operador de cantidad de movimiento). Si$H$y$T_x$viajar para todos$x$, esto debe significar que$[H,p] = 0$. Por el teorema anterior, podemos encontrar una base de vectores propios$|n\rangle$del hamiltoniano que también son vectores propios de$p$de modo que $$\psi_n(x) \sim \mathrm e^{\frac{\mathrm i}\hbar k_n x}$$ para algunos$k_n$.

• si solo$[H, T_x] = 0$para discreto$x = na$. Aplicando el teorema nuevamente, obtenemos que podemos elegir una base donde

  $$\psi_n(x + a) = C \psi_n(x) \;,$$ dónde$C$es una constante con$|C| = 1$. Escribir$C = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\, \theta}$, definir$k = \frac{2\pi\theta}a$y $$u_n(x) = \mathrm e^{-\mathrm i kx} \psi_n(x) \;.$$ Inmediatamente ves que$u_n(x+a) = u_n(x)$, y ahora entendemos cómo el teorema de Bloch se deriva del teorema general que cité anteriormente.
  (El teorema de Bloch establece que$\psi_n(x) = \mathrm e^{\mathrm i kx} u_n(x)$con periódico$u_n$.)

Importante: "podemos encontrar una base propia tal que..." no significa en general que todas las bases sean de esta forma. Si el espectro de$H$es degenerado, en general podremos escribir vectores base de$H$que no respetan la simetría del otro operador, ya sea$P$o$T_x$. Ver la respuesta de Emilio Pisanty.

Trabajo en una dimensión espacial por simplicidad. Si el hamiltoniano es invariante tras la traducción, es decir, si

$$\left[H,U\right]=0$$

para el operador de traducción unitario

$$U = e^{-ip},$$

entonces podemos encontrar estados propios simultáneos$\left|\varepsilon,\theta\right>$tanto del hamiltoniano como del operador de traducción, donde$H\left|\varepsilon,\theta\right>=\varepsilon\left|\varepsilon,\theta\right>$y$U\left|\varepsilon,\theta\right>=e^{i\theta}\left|\varepsilon,\theta\right>.$Considere la función de onda espacial

$$\psi(x)= \left<x\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>.$$ Vemos eso $$\begin{align} \psi(x+a) &= \left<x+a\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>\\ &=\left<x\right|U^{-a}\left|\varepsilon,\theta\right>\\ &= e^{-ia\theta}\psi(x) \end{align}$$ para todos los reales $a$. Resulta que $$|\psi(x)|^2 = |\psi(x')|^2$$ para todos $x$, $x'$, por lo que la densidad de probabilidad descrita por dicha función de onda es espacialmente constante. Cualquier función distinta de cero que obedezca esta condición no tendrá un $L^2$norma.

Para sistemas discretos invariantes traslacionalmente se aplica el teorema de Bloch .

Para la invariancia traslacional continua del hamiltoniano, el hamiltoniano es una constante ($\forall a:H(r) = H(r+a) \rightarrow H(r)=H=const.$). Por lo tanto, las ondas planas son un conjunto de estados propios (que de hecho también concuerda con el límite del continuo del teorema de Bloch).