SO (3) SO (3) SO (3), SU (2) SU (2) SU (2) y simetrías en mecánica cuántica [duplicado]

No es tan difícil ver cómo una rotación puede terminar siendo representada por una matriz de dimensión$(2j+1)\times(2j+1)$. El concepto clave es que esta matriz actúa sobre un subespacio$V$del espacio de Hilbert$\mathcal H$; eso es,$V$contiene vectores de estado (kets). Generalmente,$V$se requiere que sea un subespacio invariante en el sentido de que si$v\in V$, luego bajo una rotación$v$irá en general a algún vector diferente$v'$pero sin embargo permanecerá en$V$.

La forma más fácil de ver esto es a modo de ejemplo, así que déjame mostrarte cómo funciona esto para$j=2$. En general, hay muchas realizaciones posibles de$V$, pero la realización más limpia es como el espacio vectorial de funciones$f:\mathbb R^3\to \mathbb C$que son polinomios homogéneos de grado 2, y que son 'sin rastro' en el sentido de que

Para calcular el efecto de una rotación$R\in\mathrm{SO}(3)$, simplemente tomas un dado$f\in V$a la función$G(R)f\in V$que está dado por

Para cualquier dado$R$,$G(R)$es una transformación geométrica pero también es, en un nivel más simple, una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita$V$con base$B$, por lo que simplemente puede representarlo por su matriz con respecto a esta base. Así, por ejemplo, una rotación de 90° alrededor del$+x$eje estaría representado por la matriz

Los otros han dado más detalles sobre cómo funciona esto matemáticamente: la función$G$ser una representación del grupo$\mathrm{SO}(3)$- pero creo que ejemplos de este tipo ayudan mucho a visualizar lo que está pasando.

La representación del grupo Lie abstracto $\mathrm{SO}(3)$en el espacio habitual$\mathbb{R}^3$se conoce como la representación fundamental del grupo. Ninguna otra representación suele ocurrir en la mecánica clásica porque en su mayoría solo tenemos$\mathbb{R}^{3N}$como el espacio de coordenadas espaciales para$N$objetos sobre los que actúan las rotaciones. Las rotaciones deben actuar sobre su "espacio de estados clásicos", pero está claro que las coordenadas espaciales ordinarias siempre se transformarán en esta representación fundamental.

En la mecánica cuántica, las transformaciones/simetrías como las rotaciones deben implementarse (es decir, representarse) en el espacio de estados de la teoría, que es esencialmente el espacio de Hilbert proyectivo asociado a un sistema cuántico tomando el espacio de Hilbert abarcado por todos los estados independientes y proyectivizando él.

Por lo tanto, cualquier espacio de Hilbert de mecánica cuántica debe llevar una representación proyectiva unitaria de$\mathrm{SO}(3)$para que podamos "medir" el momento angular, ya que el momento angular genera las rotaciones: los operadores del momento angular se encuentran en el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$, y toda representación lineal del álgebra de Lie induce una representación lineal de la cobertura universal del grupo de Lie, que están en biyección a las representaciones proyectivas del grupo o grupos cubiertos por ella.

Por lo tanto, para encontrar todas las representaciones proyectivas posibles de las rotaciones, buscamos todas las representaciones lineales de su cobertura universal, que es la (doble) cobertura$\mathrm{SU}(2)$. Clasificando todas las representaciones posibles de este tipo, se encuentra (p. ej., al observar los módulos de Verma) que todas estas representaciones unitarias ya están completamente descritas al dar el valor esperado del operador Casimir $\vec L^2$, comúnmente escrito$l(l+1), l \in \mathbb{Z} \vee l \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$, y el espacio de representación asociado tiene dimensión$2l+1$. ¹

De estos, solo los de número entero.$l$son representaciones lineales propias de$\mathrm{SO}(3)$, mientras que los semienteros mapean una "rotación" por$2\pi$a una reflexión, pero como esa es solo una fase general, todas ellas son representaciones proyectivas de las rotaciones.$l$es también el momento angular total de un estado en tal representación.

^{1 Estas son solo las representaciones irreductibles , pero cualquier otra representación puede construirse a partir de ellas. La base comúnmente presentada para estos espacios son vectores propios de$L_z$con valores propios en$\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}$}

$SO(3)$es biconexo y resulta que$SU(2)$es su grupo de cobertura universal (simplemente conectado). Como entonces hay un homomorfismo de cobertura$\gamma:SU(2)\to SO(3)$, que es un isomorfismo local, entonces se puede considerar (como consecuencia de Peter-Weyl) el teorema, las representaciones irreducibles de$SU(2)$. Estos pueden ser parametrizados por los puntos en el espectro del operador Casimir, que generalmente se interpreta (hasta la renormalización) con el giro$j$(de hecho$j(j+1)$, pero realmente no hace una diferencia ya que es posible recuperar$j$). Se observa entonces que los elementos en los espacios de representación se transforman de acuerdo con algunas reglas de transformación bien conocidas: para$j=0$todo se deja invariable, por lo que los elementos en este espacio vectorial (trivialmente$\mathbb C$) se comportan como escalares . Elementos del espacio de representación de$j=1/2$se comportan como espinores (no vuelven a ser ellos mismos después de una rotación de$2\pi$pero toman una señal). Para$j=1$recuperas las matrices de$SO(3)$, por lo que los elementos se interpretan como vectores, y así sucesivamente (cf. Teorema de Wigner-Eckart ).