Sobre el uso de hamiltonianos para helio

El hamiltoniano del helio se puede expresar como la suma de dos hamiltonianos de hidrógeno y el de la interacción de Coulomb de dos electrones.

H ^ = H ^ 1 + H ^ 2 + H ^ 1 , 2 .

La función de onda para el parahelio (spin = 0) es

ψ ( 1 , 2 ) = ψ S ( r 1 , r 2 ) ξ ˙ A ( s 1 , s 2 ) siendo la primera una función espacial simétrica y la segunda una antisimétrica.

Podemos separar esto en la función normalizada

ψ S ( r 1 , r 2 ) = 1 2 [ ψ 1 ( r 1 ) ( ψ 2 ( r 2 ) + ψ 1 ( r 2 ) ( ψ 2 ( r 1 ) ] = ψ S ( r 2 , r 1 )

Para el ortohelio, las funciones se ven así:

ψ ( 1 , 2 ) = ψ A ( r 1 , r 2 ) ξ ˙ S ( s 1 , s 2 ) ψ A ( r 1 , r 2 ) = 1 2 [ ψ 1 ( r 1 ) ( ψ 2 ( r 2 ) − ψ 1 ( r 2 ) ( ψ 2 ( r 1 ) ] = − ψ A ( r 2 , r 1 )

Muestre que el estado fundamental del helio es parahelio. La pista es lo que sucede con la función de onda.

Bien, empiezo con el hamiltoniano de la(s) función(es) de onda dada(s)

H 1 = ℏ 2 2 metro ∂ ψ ∂ 2 r 1 2 = mi 1 ψ
H 2 = ℏ 2 2 metro ∂ ψ ∂ 2 r 2 2 = mi 2 ψ
H 1 , 2 = − mi 2 4 π ϵ 0 r 1 , 2

OK, estaba tratando de entender cómo empezar con esto. Así que quería comprobar si lo que tengo arriba está "permitido", es decir, es la segunda derivada (la nabla, en realidad) de las funciones psi tratables de esta manera, ya que todas tienen dos variables (en realidad, dos vectores de posición) en ¿a ellos? Básicamente, se trata de cómo configurar los diferenciales iniciales que resolvería.

EDITAR: Una cosa que pensé en hacer fue esto (por H 1 ):

H 1 = − ℏ 2 2 metro ( ∂ ψ ∂ 2 r 1 2 + ∂ ψ ∂ 2 r 2 2 ) = mi 1 ( ψ 1 ( r 2 ) + ψ 1 ( r 1 ) )

pero de nuevo no sé si eso es kosher.

Dicho esto, creo que te estás perdiendo las interacciones de Coulombic en H 1 y H 2 .
Ψ S y Ψ o r t h o no son funciones propias del hamiltoniano total. Suele hacerse para comparar energías en ambos casos. Sólo equivale a tomar el 'promedio' de H 12 con ambas funciones y rendimientos estimados para la diferencia de energías. Básicamente, es la teoría de la perturbación de primer orden. En el libro de Bethe & Salpeter , hay varias aproximaciones a las energías del átomo de helio.
Bien, entonces, ¿qué significa eso para configurar la parte inicial del problema?

Respuestas (1)

No estoy seguro de qué tan exacto quiere ser sobre esto, pero desde mi punto de vista para mostrar que el parahelio tiene una energía más baja, no necesita saber mucho sobre las funciones de onda reales. De hecho, es imposible escribir una función de onda exacta para el helio debido al término de interacción. No voy a responder esto por ti porque parece una pregunta de tarea, pero intentaré ampliar la pista para que te resulte más fácil resolverla por ti mismo. Debido a que los electrones son fermiones, sabemos que la función de onda de este sistema debe ser totalmente antisimétrica bajo intercambio de partículas. En el caso del parahelio, el estado de espín es antisimétrico bajo este intercambio, por lo que sabemos que la función de onda espacial tiene que ser simétrica. Piense en los estados que puede construir bajo esta restricción y compárelos con el caso del ortohelio,

Siento que también debería agregar que a tus expresiones para el hamiltoniano les falta el 1 / r términos potenciales, pero aparte de eso, lo que ha escrito parece "kosher".

Eso ayuda y no, no estaba buscando una respuesta de la manera que quieres decir, solo quería asegurarme de que estaba comenzando bien. No estaba seguro de si estaba bien romper el ψ ( r 1 , r 2 ) funciona dentro del hamiltoniano de esa manera. Así que debería haber (con los términos potenciales) H 1 = − ℏ 2 2 metro ( ∂ 2 ψ 1 ∂ r 1 2 + ∂ 2 ψ ∂ r 2 2 − 2 mi 2 4 π ϵ 0 r − 2 mi 2 4 π ϵ 0 r ) = mi 1 ( ψ 1 ( r 2 ) + ψ 1 ( r 1 ) )
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