¿Hay hamiltonianos invariantes en la traducción que no son simétricos de paridad?

¿Hay hamiltonianos invariantes en la traducción que no son simétricos de paridad? Estoy pensando principalmente en términos del espacio de estado de una sola partícula masiva en una o más dimensiones, pero me gustaría deliberadamente mantener la pregunta un poco vaga para ver qué tan patológico sería el ejemplo que tendría que mencionar para tener un sistema. con ese tipo de simetría.

Además, lo que más me interesa son los sistemas que no tienen ninguna simetría que pueda interpretarse razonablemente como una transformación de paridad. Con esto quiero decir que puedes hacer un hamiltoniano 1D que "rompa la paridad" al tener

H = 1 2 pag 2 + pag 0 pag
dónde pag 0 es una constante, pero esto claramente no es tan interesante ya que puede generar un operador de "paridad" deformado de la forma PAG ′ = mi − i pag 0 X PAG mi i pag 0 X (es decir, un impulso por pag 0 , paridad y un impulso de vuelta por pag 0 ). En estos términos, el marcador más claro de éxito sería un hamiltoniano traduccionalmente invariante con grandes porciones de espectro no degenerado.

es posible? ¿Hasta dónde necesita doblar los ejemplos normales para llegar allí?

Editar: para explicar un poco la motivación de esta pregunta, este hilo relacionado gira en torno a las afirmaciones del formulario

si H es invariante tras la traducción y | ψ ⟩ es una función propia de H , entonces | ψ ⟩ también tiene que ser invariante de traducción

que normalmente se ven frustrados por el hecho de que una traducción invariante H suele ser paridad simétrica en esa dirección, lo que introduce una degeneración en casi todo el espectro y, por lo tanto, hace inútil el argumento habitual de no degeneración.

Ahora, la invariancia de traducción y la simetría de inversión normalmente se combinan en los hamiltonianos del mundo real, pero son formalmente independientes y no hay razón para que la primera no pueda existir sin la segunda para un hamiltoniano 'suficientemente patológico'. La pregunta aquí es, entonces, ¿qué significa 'suficiente' después de eso patológico? ¿Qué tan lejos de los caminos trillados necesitas ir? ¿Y cuántas de las propiedades deseables de un hamiltoniano (como, por ejemplo, la delimitación desde abajo o la existencia de un estado fundamental) puede conservar en el proceso?

FWIW, el Hamiltoniano del Modelo Estándar es invariante bajo traslaciones y rompe la simetría de paridad. Sin embargo, supongo que tienes en mente la mecánica de puntos en lugar de QFT.
¿Qué quieres decir con 1D? ¿Es para excluir las teorías de campo en 2D o 4D?
@Arnold Eso fue solo un ejemplo simple en QM de una sola partícula: no quiero excluir ninguna dimensionalidad de las respuestas, aunque preferiría respuestas que no involucren QFT si eso es posible (y si no lo es, las razones son una pregunta interesante por derecho propio, y este es un buen lugar para ella).
La declaración resaltada en la parte Editar es válida si y solo si la función propia pertenece a un valor propio simple. Esto es álgebra lineal simple y no tiene nada que ver con la paridad.
@ArnoldNeumaier Sí, ese es el punto: la afirmación es obviamente falsa en general, como se explica en detalle en el hilo vinculado. El vínculo con la paridad es que normalmente la paridad es la razón inevitable por la cual el valor propio no es simple y la declaración no es aplicable.
¡Pero incluso con paridad está mal una vez que la multiplicidad es más de 2!
@ArnoldNeumaier No entiendo tu comentario. Obviamente, hay hamiltonianos muy degenerados en dimensiones altas, pero el hamiltoniano invariante en traducción no trivial más simple es 1 2 pag 2 en 1D y tiene multiplicidad 2 por paridad; el tema general es si hay hamiltonianos invariantes a la traducción con solo valores propios únicos y, más específicamente, abordar el obstáculo más obvio, que para los hamiltonianos naturales es la paridad.
@ArnoldNeumaier Y, nuevamente, si encuentra que la pregunta es objetable, puede votar negativamente / votar para cerrar como de costumbre. Sin embargo, en lo que a mí respecta, su respuesta ayudó a impulsar mi pensamiento en la dirección correcta para encontrar lo que estaba buscando.
si hay hamiltonianos invariantes de traducción con solo valores propios - Por supuesto que los hay, los hay; casi todos los de mi respuesta!

Respuestas (2)

Bien, pensando un poco más sobre esto, y sugerido en términos de trabajar con las funciones propias de impulso y dónde poner sus valores propios de una manera que evitará tanto las degeneraciones como la falta de límites desde abajo, aquí hay un ejemplo. Trabajando en L 2 ( R ) , considere el hamiltoniano

H ^ = h 0 Exp ⁡ ( a pag ^ / ℏ ) = h 0 Exp ⁡ ( − i a d d X ) ,
dónde a y h 0 son constantes con dimensiones de longitud y energía, respectivamente, y pag ^ es el operador de cantidad de movimiento habitual. Este operador es invariable en la traducción, pero no parece tener una relación fácil con su versión espejo (y, lo que es más importante para la motivación vinculada, no tiene ninguna degeneración).

Además, el espectro está acotado desde abajo, pero desafortunadamente no parece tener ningún estado fundamental claro (ya que la secuencia ψ norte ( X ) = mi − i norte X / a tiene energías propias h 0 mi − norte que se aproximan asintóticamente a cero pero nunca lo alcanzan), y pensando en términos de hamiltonianos de la forma H ^ = h 0 F ( a pag ^ / ℏ ) no sugiere ninguna forma obvia de obtener un estado fundamental claro sin introducir degeneraciones en el espectro.

Por lo tanto, consideraré que esta es una respuesta parcial; con suerte, puede surgir un ejemplo similar que tenga un estado fundamental.

Qué pasa H = 1 2 ( pag 1 2 + pag 2 2 ) + V ( pag , X 1 − X 2 ) , dónde V ( pag , r ) es una función impar arbitraria, es decir, V ( − pag , − r ) = − V ( pag , r ) . Debería ser posible elegir V tal que ninguna transformación de calibre puede simplificar el hamiltoniano a uno invariante de paridad.

Hay un montón de tales V . Por ejemplo, todas las combinaciones lineales de productos de cualquier número impar de variables pag 1 , pag 2 , r trabajar. Estos dependen de un número infinito de parámetros. Mientras que las transformaciones simplificadoras físicamente naturales que permitirían llamar a la paridad transformada para que todavía se vea sensiblemente como paridad tienen solo algunos parámetros. Así para la mayoría de los V no hay paridad natural que se conserve.

Si desea invariancia de traducción en 3D, lo mismo funciona con valor vectorial pag 1 , pag 2 , X 1 , X 2 de diemsnión 3.

¿Cuál es el papel de a en esta expresión? La mezcla de términos cinéticos pares y potenciales impares es interesante, pero ¿no es así? a desaparecer después de una transformación de calibre adecuada? (Lo siento, mi cerebro está un poco lento hoy)
Lo explicaré en mi respuesta.
Estoy deseándolo V =) - no me parece una propiedad trivial. Si lo dejas en el formulario H = 1 2 ( pag 1 2 + pag 2 2 ) + V ( X 1 − X 2 ) , sin embargo, girando en el X 1 , X 2 plano, podemos reformular ese hamiltoniano como H = 1 2 ( pag ~ 1 2 + pag ~ 2 2 ) + V ( X ~ 1 ) , que no tiene paridad definida en X ~ 1 pero que tiene una paridad adecuada en X ~ 2 , introduciendo la degeneración.
(Consulte la pregunta editada para obtener más información sobre la motivación).
@EmilioPisanty: bueno, cambiaste completamente la pregunta. Esto hace que responder sea un trabajo ingrato de Sísifo. -- Tenga en cuenta que yo tenía el a y luego el más general V sólo para evitar que reformulaciones tan simples permitan recuperar una paridad conservada.
@ Arnold Disculpas por la falta de claridad en la pregunta anterior, y esos baches originalmente estaban ocultos en las definiciones confusas de paridad e invariancia de traducción, supongo. Sin embargo , todavía estoy interesado en cualquier toma interesante que pueda tener sobre la pregunta original, particularmente si se relacionan con entendimientos más estrictos de ambos términos.
¿Hay hamiltonianos invariantes en la traducción que no son simétricos de paridad?
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