¿Valor esperado del hamiltoniano?

Question

¿Valor esperado del hamiltoniano?

kamil

Considere una partícula en un pozo de potencial infinito con longitud $L$ : $\forall x \in (0,L): V(x) = 0$ y $V(x) = \infty$ en otra parte. La función de onda en el tiempo $t = 0$ es dado por

ψ (X, 0) = {\begin{cases} norte (X - L / 2) & 0 \leq X \leq L \\ 0 & en otra parte \end{cases}

$\psi(x,0) = \begin{cases} N(x - L/2) & 0 \leq x \leq L \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases}$ Determiné la constante de normalización como

N

$N$ tiene

N = \sqrt{\frac{12}{L^{3}}}

$N = \sqrt{\frac{12}{L^3}}$ . El problema también me pide que encuentre

ψ (X, 0) = \sum_{norte}^{\infty} C_{norte} ψ_{norte} (X)

$\psi(x,0) = \sum_{n}^{\infty} c_n \psi_n(x)$ y para determinar los coeficientes de expansión

c_{n}

$c_n$ . Lo hice usando las condiciones de ortonormalidad. Para el potencial infinito sabemos bien que las funciones de onda se dan como

ψ_{norte} (X) = \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{norte π X}{L}) .

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{n\pi x}{L}).$ Así que usé

C_{metro} = \int ψ_{metro}^{*} (X) ψ (X, 0) d X

$c_m = \int \psi_m^*(x) \psi(x,0) dx$ y encontró los coeficientes de expansión como

C_{norte} = {\begin{cases} 0 & cuando n es impar \\ - \frac{\sqrt{24}}{norte π} & cuando n es par \end{cases}

$c_n = \begin{cases} 0 & \text{when n is odd} \\ - \frac{\sqrt{24}}{n \pi} & \text{when n is even} \end{cases}$ También necesito encontrar la función de onda.

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ en cualquier momento posterior. escribí

Ψ (X, t) = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} (X) Exp (- i {mi}_{norte} t / ℏ)

$\Psi(x,t) = \sum_n c_n \psi_n(x) \exp(-iE_nt / \hbar)$ dónde

{mi}_{norte} = \frac{{norte}^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 metro L^{2}}

$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$ para el pozo de potencial. Pero la pregunta final de este problema me pide encontrar el valor esperado de la energía. Entonces esto significa que tengo que encontrar

⟨ H ⟩ = \int Ψ^{*} (X, t) H Ψ (X, t) d X = \int (\sum_{metro} C_{metro} ψ_{metro} Exp (i {mi}_{metro} t / ℏ) H (\sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} Exp (- i {mi}_{norte} t / ℏ)) d X

$\langle H \rangle = \int \Psi^*(x,t) H \Psi(x,t) dx = \int \big( \sum_m c_m \psi_m \exp(iE_mt / \hbar \big) H \big( \sum_n c_n \psi_n \exp(-iE_nt / \hbar) \big) dx$ ? Pero, ¿cómo calculo esta expresión? ¿O hay alguna forma mejor de encontrar el valor esperado de la energía? El libro de texto de Griffiths dice (capítulo dos) que si

Ψ (X, t) = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} (X) Exp (- i {mi}_{norte} t / ℏ)

$\Psi(x,t) = \sum_n c_n \psi_n(x) \exp(-iE_nt / \hbar)$ entonces

⟨ H ⟩ = \sum_{norte}^{\infty} {mi}_{norte} | C_{norte} |^{2} .

$\langle H \rangle = \sum_n^{\infty} E_n |c_n|^2.$ Pero, ¿cómo sé que esta serie convergerá?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/38181/2451

kamil

@Cuenta hasta 10. Así que para el pozo potencial infinito que tenemos

H = \frac{p^{2}}{2 m}

$H = \frac{p^2}{2m}$ bien. Así que solo uso esto en la integral anterior, y sustituyo por

p

$p$ el operador y hacer la integral? Pero, ¿puedo simplificar las sumas?

kamil

No sé. Pero creo que en mi caso, la convergencia es irrelevante. si asumo que

⟨ H ⟩ \sum_{n} E_{n} | c_{n} |^{2}

$\langle H \rangle \sum_n E_n | c_n|^2$ es correcto, entonces en mi caso tendría

\sum_{n} (\frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}) \frac{24}{n^{2} π^{2}} = \frac{12 ℏ^{2}}{m L^{2}} .

$\sum_n \bigg( \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \bigg) \frac{24}{n^2 \pi^2} = \frac{12 \hbar^2}{mL^2}.$ El

n

$n$ está cancelado, y supongo que puedo simplemente dejar el resumen (aunque no estoy seguro). Todavía falta comprobar si esto tiene las dimensiones de la energía.

Vladímir Kalitvianski

Su función de onda inicial no satisface las condiciones de contorno. En otras palabras, está cambiando demasiado rápido en alguna parte. Para representar un cambio tan rápido como una superposición de funciones de onda suaves, necesita poblar los armónicos más altos con una gran energía. Por eso la suma diverge. Utilice una función de onda inicial más suave (cero en ambos extremos) con una transición razonable a cero (es decir, dentro de un espesor finito), y sus armónicos más altos serán más suprimidos.

Vladímir Kalitvianski

Tenga en cuenta que físicamente existen mecanismos para deshacerse de los estados de alta energía en su estado inicial, a través de la radiación, etc., por lo que nunca permanecerá igual físicamente.

Respuestas (2)

¿Valor esperado del hamiltoniano?

@Cuenta hasta 10. Así que para el pozo potencial infinito que tenemos $H = \frac{p^2}{2m}$ bien. Así que solo uso esto en la integral anterior, y sustituyo por $p$ el operador y hacer la integral? Pero, ¿puedo simplificar las sumas?
No sé. Pero creo que en mi caso, la convergencia es irrelevante. si asumo que $\langle H \rangle \sum_n E_n | c_n|^2$ es correcto, entonces en mi caso tendría $\sum_n \bigg( \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \bigg) \frac{24}{n^2 \pi^2} = \frac{12 \hbar^2}{mL^2}.$ El $n$ está cancelado, y supongo que puedo simplemente dejar el resumen (aunque no estoy seguro). Todavía falta comprobar si esto tiene las dimensiones de la energía.
Su función de onda inicial no satisface las condiciones de contorno. En otras palabras, está cambiando demasiado rápido en alguna parte. Para representar un cambio tan rápido como una superposición de funciones de onda suaves, necesita poblar los armónicos más altos con una gran energía. Por eso la suma diverge. Utilice una función de onda inicial más suave (cero en ambos extremos) con una transición razonable a cero (es decir, dentro de un espesor finito), y sus armónicos más altos serán más suprimidos.
Tenga en cuenta que físicamente existen mecanismos para deshacerse de los estados de alta energía en su estado inicial, a través de la radiación, etc., por lo que nunca permanecerá igual físicamente.

Elias Riedel Gårding · Answer 1

Después de hacer ediciones teniendo en cuenta las correcciones de Valter Moretti, ahora me siento bastante seguro con esta respuesta.

He seguido tus cálculos y parecen correctos. Pero ciertamente no puede "dejar caer el resumen" como menciona en los comentarios. La suma se reduce (con $n = 2k$ ) como

⟨ mi ⟩ = \sum_{k = 1}^{\infty} {mi}_{norte} | C_{norte} |^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{norte}^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 metro L^{2}} \frac{24}{{norte}^{2} π^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{12 ℏ^{2}}{metro L^{2}} = \frac{12 ℏ^{2}}{metro L^{2}} \sum_{k = 1}^{\infty} 1 = \infty .

$\left<E\right> = \sum_{k=1}^{\infty} E_n |c_n|^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \frac{24}{n^2 \pi^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{12 \hbar^2}{mL^2} = \frac{12 \hbar^2}{mL^2} \sum_{k=1}^{\infty} 1 = \infty.$

El hecho es que el valor esperado de la energía es en realidad infinito. Tal situación puede parecer extraña, pero como señaló el profesor Moretti, en realidad no es una situación imposible; nunca medirás un valor infinito de la energía. La probabilidad $|c_n|^2$ de medir la energía $E_n$ todavía va a cero como $n$ va al infinito. Un valor esperado infinito simplemente significa que si toma muchas medidas y las promedia, el promedio aumentará sin límites. Esto no rompe ningún principio físico en particular.

En realidad, como se detalla en las respuestas a la pregunta a la que hace referencia Qmechanic , los valores esperados de energía infinita son típicos de las funciones de onda discontinuas como la que se encuentra en su condición inicial. De hecho, los coeficientes $c_n$ que has obtenido demuestra que $\psi$ es discontinua, porque es un teorema del análisis de Fourier que si $\psi$ es continua, entonces hay una constante $K$ tal que $|c_n| \leq K/n^2$ . En este caso, $c_n$ va a cero como $1/n$ , no $1/n^2$ .

No creo que un valor esperado infinito de un observable (como la energía) no sea necesariamente físico. Lo que no es físico es un valor infinito de un solo resultado de la medición de un observable. El valor esperado es solo una medida parcialmente convencional de la cantidad de energía del sistema, que no está definida en este caso ya que el estado es una superposición de estados con energía definida. El hecho de que "la energía se conserve" significa aquí que las probabilidades de tener ciertos resultados (¡ finitos !) al medir la energía son constantes en el tiempo.
Incluso la continuidad de la función de onda no puede considerarse natural o necesaria. Si se supusiera que todas las funciones de onda son continuas, renunciaríamos a la completitud del espacio de los estados, es decir, a la estructura espacial de Hilbert.
@Valter Moretti Gracias por la corrección. Si te entiendo bien, un valor esperado infinito de la energía simplemente expresa que, aunque el resultado de una sola medición siempre es finito, no hay un "promedio" finito sensato (al igual que el conjunto {0,1,... } no tiene media). Si medimos la energía muchas veces, el valor medio de nuestras medidas crecerá sin límites. Y, por supuesto, no hay nada imposible en eso, porque la probabilidad de medir energías ridículamente altas sigue siendo cero a medida que aumenta la ridiculez, por así decirlo.
@ValterMoretti Reescrito en base a sus comentarios. ¡Gracias por disipar mi concepto erróneo!

usuario818852 · Answer 2

Me alegro de haber encontrado esta publicación. Estaba pensando en el Problema 2.8 en Griffiths-Schroeter: Introducción a QM, 3ra ed., donde el $\psi(x,0)$ es la función característica de un intervalo. Aunque el ejercicio no preguntaba sobre $<H>$ , lo calculé de todos modos solo por diversión, y me sorprendió que no convergiera. Al principio pensé que había cometido un error, pero ahora tiene sentido.

El problema se puede leer aquí, junto con una solución, aunque no discute $<H>$ : https://stemjock.com/STEM%20Books/Griffiths%20QM%203e/Chapter%202/GriffithsQMCh2p8.pdf

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