Estados pares e impares de un pozo de potencial finito 1D

Question

miguel

¿Es posible que una partícula atrapada en un pozo de potencial finito 1D evolucione de un estado par a un estado impar y viceversa? ¿Por qué?

qmecanico · Answer 1

Supongo que OP significa un potencial par $V(x)~=~V(-x)$ , por ejemplo, un potencial de pozo cuadrado finito $V(x) ~\propto~ \theta(|x|-a)$ .

Entonces la respuesta a la pregunta (v1) es No.

Prueba esbozada: bajo el supuesto de que $V$ es par, el hamiltoniano

H = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + V (X)

$H= \frac{p^2}{2m}+V(x)$ luego conmuta con el operador de paridad

P

$P$ . Entonces los operadores

H

$H$ y

P

$P$ se pueden diagonalizar simultáneamente. Entonces, existe un conjunto completo de estados propios de energía que son pares o impares. llamémoslos

e_{i} (x) = e_{i} (- x)

$e_i(x)=e_i(-x)$ y

o_{j} (x) = - o_{j} (- x)

$o_j(x)=-o_j(-x)$ , respectivamente. Un estado inicialmente parejo

ψ (X, t = 0) = ψ (- X, t = 0)

$\psi(x,t\!=\!0)~=~\psi(-x,t\!=\!0)$

es, por lo tanto, una combinación lineal de estado propio de energía par solamente

ψ (X, t = 0) = \sum_{i} C_{i} {mi}_{i} (X) .

$\psi(x,t\!=\!0)~=~\sum_i c_i e_i(x).$

La función de onda

ψ (X, t) = \sum_{i} C_{i} {mi}_{i} (X) Exp [- \frac{i t {mi}_{i}}{ℏ}] = ψ (- X, t)

$\psi(x,t)~=~\sum_i c_i e_i(x) \exp\left[-\frac{\mathrm{i}t E_i}{\hbar}\right]~=~\psi(-x,t)$

sigue siendo una función par también en un tiempo futuro $t$ , y por lo tanto no puede volverse impar.