Cálculo del valor esperado de un hamiltoniano

Question

Cálculo del valor esperado de un hamiltoniano

jessé

Quiero calcular el valor esperado de un hamiltoniano. Tengo una función de onda que es
$ψ = \frac{1}{\sqrt{5}} (1 ϕ_{1} + 2 ϕ_{2}) .$ $\psi = \frac{1}{\sqrt{5}}(1\phi_1 + 2\phi_2).$

Quiero saber si configuré esto correctamente. El hamiltoniano es $\hat H \left(x, \frac{\hbar \partial^2}{2m\partial x^2}\right)$ . Para obtener un valor esperado, necesito integrar esto:

\int ψ^{*} \hat{H} ψ d X .

$\int \psi^* \hat H \psi dx.$

Dado que las funciones de onda están normalizadas y son reales, puedo ir con $\psi^* = \psi$ .

Bien, armé la integral.

\int \frac{1}{\sqrt{5}} (ϕ_{1} + 2 ϕ_{2}) \frac{ℏ}{2 metro} \frac{1}{\sqrt{5}} (ϕ_{1}^{″} + ϕ_{2}^{″}) d X = \frac{ℏ}{2 metro} \frac{1}{5} \int (ϕ_{1} + 2 ϕ_{2}) (ϕ_{1}^{″} + 2 ϕ_{2}^{″}) d X,

$\int \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi_1 + 2\phi_2)\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi_1'' + \phi_2'') dx=\frac{\hbar}{2m}\frac{1}5\int(\phi_1 + 2\phi_2)(\phi_1'' + 2\phi_2'')dx,$

y conozco la función de onda para

ϕ_{norte} = \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{norte π X}{L})

$\phi_n = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ entonces

ϕ_{1} = \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{π X}{L})

$\phi_1 = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$ y

ϕ_{2} = \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{2 π X}{L}) .

$\phi_2 = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right).$

Puedo enchufarlos y hacer la integral, y quería comprobar que era lo correcto. Aunque sospecho que hay un método más fácil. Pero si esto funciona, entonces puedo decir "genial, al menos entiendo esto lo suficiente como para resolver el problema".

BMS

¿Puede Jesse u otra persona explicar la notación del hamiltoniano? Es

\hat{H} = (\dots, \dots)

$\hat H = (\ldots,\ldots)$ destinado a suceder

\hat{H} = \hat{H} (\dots, \dots)

$\hat H = \hat H (\ldots,\ldots)$ ?

jessé

Se suponía que debía estar sin el signo =. Arreglado.

seguro

Usa los hechos: 1.

ϕ_{1}

$\phi_1$ y

ϕ_{2}

$\phi_2$ son estados propios de

H

$H$ y 2. Son ortogonales ya que sus valores propios son distintos. No se necesitan cálculos explícitos de integrales.

jessé

¿Eso significa que

ϕ_{1} ϕ_{2}^{″}

$\phi_1\phi_2''$ por ejemplo es cero? Vi que va a cero cuando hice la integración...

Respuestas (1)

Cálculo del valor esperado de un hamiltoniano

¿Puede Jesse u otra persona explicar la notación del hamiltoniano? Es $\hat H = (\ldots,\ldots)$ destinado a suceder $\hat H = \hat H (\ldots,\ldots)$ ?
Usa los hechos: 1. $\phi_1$ y $\phi_2$ son estados propios de $H$ y 2. Son ortogonales ya que sus valores propios son distintos. No se necesitan cálculos explícitos de integrales.
¿Eso significa que $\phi_1\phi_2''$ por ejemplo es cero? Vi que va a cero cuando hice la integración...

gj255 · Answer 1

Así que aquí está el enfoque abstracto:

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{1}{5} (⟨ ϕ_{1} | H | ϕ_{1} ⟩ + 2 ⟨ ϕ_{1} | H | ϕ_{2} ⟩ + 2 ⟨ ϕ_{2} | H | ϕ_{1} ⟩ + 4 ⟨ ϕ_{2} | H | ϕ_{2} ⟩) .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{5}\bigg( \langle \phi_1 | H | \phi_1 \rangle + 2\langle \phi_1 | H | \phi_2 \rangle + 2\langle \phi_2 | H | \phi_1 \rangle + 4 \langle \phi_2 | H | \phi_2 \rangle \bigg) \,.$

ahora sabes que $H|\phi_1\rangle = E_1 |\phi_1 \rangle$ y $H|\phi_2\rangle = E_2 |\phi_2 \rangle$ --- o más bien, puede verificar fácilmente que las funciones que ha dado son estados propios del hamiltoniano:

\frac{- ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X^{2}} ϕ_{norte} = \frac{{norte}^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 metro L^{2}} ϕ_{norte} \equiv {mi}_{norte} ϕ_{norte} .

$\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \phi_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \phi_n \equiv E_n \phi_n \,.$

Las funciones $\phi_n$ también están normalizados, como puedes comprobar, y son ortogonales entre sí --- esto debe ser así, porque son funciones propias de un operador hermitiano (con diferentes valores propios). Por lo tanto, la expresión anterior se convierte en:

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{1}{5} ({mi}_{1} ⟨ ϕ_{1} | ϕ_{1} ⟩ + 2 {mi}_{2} ⟨ ϕ_{1} | ϕ_{2} ⟩ + 2 {mi}_{2} ⟨ ϕ_{2} | ϕ_{1} ⟩ + 4 {mi}_{2} ⟨ ϕ_{2} | ϕ_{2} ⟩) .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{5}\bigg( E_1\langle \phi_1 | \phi_1 \rangle + 2E_2 \langle \phi_1 | \phi_2 \rangle + 2E_2\langle \phi_2 | \phi_1 \rangle + 4E_2 \langle \phi_2 | \phi_2 \rangle \bigg) \,.$

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{1}{5} ({mi}_{1} + 4 {mi}_{2}) .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{1}{5}\bigg( E_1 + 4E_2\bigg) \,.$

Sustituyendo en la forma de las energías da:

⟨ ψ | H | ψ ⟩ = \frac{17}{5} \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 metro L^{2}} .

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \frac{17}{5} \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \,.$

Esto es, para mí, más fácil que calcular la integral que has dado, aunque la integral que has dado es correcta (o casi --- el hamiltoniano debería tener un factor de $\hbar$ al cuadrado delante de la segunda derivada). Si intentara calcular la integral, encontraría una gran cantidad de cancelaciones debido a la ortogonalidad de las funciones involucradas. Si eres bueno para detectar rápidamente cuándo desaparece una integral, por ejemplo:

\int_{0}^{L} \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{π X}{L}) \sqrt{\frac{2}{L}} pecado (\frac{2 π X}{L}) d X = 0

$\int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{\pi x}{L }\right) \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{2\pi x}{L }\right) \,dx = 0$

entonces la prescripción anterior podría no parecer más simple. Pero en lo que respecta a la limpieza del enfoque, es mejor invocar la ortogonalidad de las funciones propias --- que es un resultado de importancia central en este tipo de problema, y que demostrará en cualquier curso introductorio de QM --- antes de profundizar en cálculos explícitos.

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NB: Anticipo que es posible que aún no haya cumplido con la notación anterior. No hay nada de eso. Para nuestros propósitos, simplemente tome $\langle \psi | H |\psi \rangle$ significar

\int ψ^{*} (X) H ψ (X) d X,

$\int \psi^*(x) H \psi(x) \,dx \,,$

desde donde debería poder ver cómo sigue la primera línea. El enunciado de que dos funciones son ortogonales equivale a $\langle \phi_1 | \phi_2 \rangle = 0$ , mientras que la afirmación de que una función está normalizada equivale a $\langle \phi_1 | \phi_1 \rangle = 1$ .

Gracias, me encontré con la notación de Dirac y nunca pude manejarla bien. Curiosamente, obtuve una respuesta de 33/10 en mi respuesta final, pero sospecho que es un error aritmético. Pero en realidad solo quería comprobar que no estaba demasiado descarriado. Y de nuevo, esto ayuda mucho. Cada texto de QM simplemente salta a Dirac; pocos realmente explican lo que HACE la notación. Incluso los profesores parecen asumir que todo el mundo lo sabe (por arte de magia, supongo).
Ah, por cierto, mi razonamiento sobre $\psi^* = \psi$ (dada la realidad de la función de onda) está bien, ¿verdad? (Sé que en otros casos no lo es.... pero también sé que la ortogonalidad de la $\phi$ funciones elimina un montón de cosas).
Sí, de hecho, $\psi = \psi^*$ en este caso. Estoy de acuerdo en que la notación de Dirac a menudo se introduce con poca motivación. El punto es este: los estados de un sistema mecánico cuántico están representados por vectores en un espacio vectorial . Así como en la mecánica clásica describimos un sistema mediante una lista de posiciones y momentos de las partículas, en QM los objetos que usamos para describir sistemas deben constituir un espacio vectorial. La razón de esto es que en QM tenemos una noción de superposición de estados , es decir, podemos multiplicar estados por números y sumarlos. Esto es precisamente lo que son los vectores.
Puede que estés acostumbrado a la notación vectorial. $\vec{a}$ o $\mathbf{a}$ , pero para enfatizar que estos vectores son más abstractos --- no son flechas en el espacio --- usamos la notación $|a\rangle$ . Ciertos conjuntos de funciones constituyen espacios vectoriales, y las funciones son los objetos con los que normalmente se trabaja desde el principio en QM. Pero, en general, nuestros estados pueden no ser descriptibles por funciones; son , sin embargo , siempre descriptibles por algún vector. Por lo tanto, la notación de Dirac es realmente solo notación vectorial --- notación de álgebra lineal --- que está ahí para enfatizar la estructura matemática subyacente de la teoría.
muchas gracias - tomé álgebra lineal pero eran todas pruebas, nunca hicimos nada con cálculos reales (o al menos muy poco). Sentí que era problemático, aunque entendí por qué cubrieron lo que hicieron.

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