Valor esperado ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle usando el teorema de Hellmann-Feynman

Supongamos que tenemos el átomo de hidrógeno

H   =   pag r 2 2 metro + L 2 2 metro r 2 − mi 2 r .
Y he resuelto la ecuación de Schrödinger encontrando
mi norte = − metro mi 4 2 ℏ 2 norte 2
y
Ψ norte yo metro   =   R mi , yo ( r ) Y yo metro ( φ , θ ) .
Usando el cargo mi como parámetro es bastante fácil usar el teorema de Hellmann-Feynman :
d mi λ d mi   =   ⟨ Ψ norte yo metro | d H d λ | Ψ norte yo metro ⟩ ,
encontrar ⟨ 1 r ⟩ . Ahora estoy tratando de encontrar una forma adecuada de hacer "lo mismo" para encontrar ⟨ 1 r 2 ⟩ .

Encontré la siguiente solución (en wikipedia):

ingrese la descripción de la imagen aquí

Lo que no entiendo es por qué podemos usar la parte radial H yo la forma en que está escrito en la solución, en lugar de todo el hamiltoniano? Entiendo que L 2 actúa sólo sobre Y yo metro donación ℏ 2 yo ( yo + 1 ) Y yo metro , pero no puedo ver cómo podemos obtener esta simplificación en

⟨ R mi , yo ( r ) Y yo metro ( φ , θ ) | d H d yo | R mi , yo ( r ) Y yo metro ( φ , θ ) ⟩ .
¿No tiene que actuar primero el hamiltoniano? Y yo metro ser dependiente de yo ¿en primer lugar?

Respuestas (2)

Una vez que hemos decidido mirar estados con un cierto número cuántico azimutal ℓ , es decir, una representación irreducible del grupo de rotación 3D S O ( 3 ) , entonces el S O ( 3 ) operador casimiro L → 2 actúa como un valor propio ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) .

Solo considere el hamiltoniano radial como un hamiltoniano por sí solo. Entonces, desea calcular un observable que dependa solo del comportamiento radial, vagamente hablando.

Alternativamente, siempre puede comenzar desde el hamiltoniano completo, tomar derivadas parciales en cualquier parámetro que desee y llegar a la misma respuesta, ya que el teorema de Hellman-Feynman todavía se aplica para H ^ y H ^ ℓ

Tomando el hamiltoniano radial podemos sustituir L 2 con sus valores propios entonces? No me parece tan trivial, ¿cómo definimos exactamente el "Hamiltoniano radial"?
Defínalo (por valor de ℓ si lo desea) como está escrito en la Wikipedia. La prueba básicamente se mantiene paso a paso.
Valor esperado ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle usando el teorema de Hellmann-Feynman
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v