En el libro de Ballentine sobre mecánica cuántica (en el tercer capítulo), introduce la transformación de simetría del grupo de Galileo asociada con la ecuación de Schrödinger.
Ahora el grupo galileano como tal tiene 10 generadores (3 rotaciones - , 3 traducciones - , 3 impulsos - y tiempo de traduccion - ). Aparte de esto, la solución de Schrödinger (la amplitud de probabilidad) es arbitraria hasta un factor de fase ( ). Por lo tanto, incluimos un generador más inducido por la transformación de fase. Con esto la transformación Unitaria general,
Las relaciones de conmutación del grupo en conjunto se pueden dar como,
Ahora bien, esta relación de conmutación no tiene la estructura del álgebra de Lie. Ya que con Lie Algebra los elementos son cerrados bajo conmutación. Este tiene un elemento extra sentado con .
Qué está pasando aquí realmente ? ¿Es esto realmente un grupo de Lie de 11 parámetros? Si es así, ¿cómo convencemos sobre el álgebra de generadores?
La multiplicación por una fase de la función de onda conmuta con la acción del grupo de Galileo.
Siempre es posible agregar un generador, conmutando con un generador de álgebra de Lie, para formar un álgebra de Lie más grande. En este caso, el álgebra de Lie más grande se denomina extensión central de la anterior. El origen del nombre es que el generador (o generadores) agregados conmutan con todos los generadores de álgebra de Lie, por lo que pertenecen al centro del álgebra de Lie.
Por ejemplo, el álgebra de Heisenberg-Weyl:
es una extensión central del álgebra de traducción bidimensional :
Si el elemento central no aparece en ningún conmutador de los generadores de álgebra de Lie originales, la extensión central es trivial (todas las s son cero) y el álgebra es solo una suma directa de las dos álgebras. Este es el caso en el ejemplo específico de la extensión descrita en el libro de Ballentine. Sin embargo, este no es el caso en el álgebra de Heisenberg-Weyl, donde el conmutador de y produce el elemento central. En este caso, la extensión central no es baladí.
Sin embargo, esta no es toda la historia todavía. Ballentine está preparando el trasfondo para la descripción de una extensión central no trivial del grupo de Galileo:
Resulta que el álgebra de Galileo no se cierra ni en la mecánica clásica ni en la cuántica sin una extensión central no trivial. Los corchetes de Poisson en mecánica clásica y el conmutador en mecánica cuántica de impulsos y momentos no es trivial y tiene la forma:
dónde: es la masa de la partícula. Tenga en cuenta que el conmutador correspondiente en el álgebra galileana se está desvaneciendo. Este resultado se debe a V. Bargmann .
En el caso clásico, se puede ver con bastante facilidad. Los corchetes de Poisson de las cargas de Noether calculados a partir de la partícula libre Lagrangiana correspondiente a los impulsos y los momentos solo satisfacen la relación anterior y no conmutan a Poisson como en el álgebra de grupos galileana no extendida.
Finalmente, permítanme señalar que el elemento central siempre está representado por una matriz unitaria en una representación irreducible y una representación del álgebra extendida centralmente se llama representación de rayos del álgebra original.
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