Grupos Galileo, SE(3), Poincaré - Extensión Central

Hay 3 acciones del grupo de Galileo sobre la partícula libre: Sobre el espacio de configuración, sobre el espacio de fase y sobre el espacio de estado cuántico (funciones de onda). El álgebra de Lie galileana se realiza fielmente sobre el espacio de configuración mediante campos vectoriales, pero su acción elevada sobre el álgebra de Poisson de funciones sobre el espacio de fase y sobre las funciones de onda (mediante operadores diferenciales) es la extensión central del álgebra galileana. , conocida como álgebra de Bargmann en la que el conmutador de impulsos y momentos es proporcional a la masa. El razonamiento se da en los siguientes argumentos.

1) La acción en el espacio de configuración:$Q = \{x^1, x^2, x^3, t\}$:

Aquí las traslaciones y los operadores de impulso actúan como campos vectoriales y su conmutador es cero:

Traducción:$x^i \rightarrow x^i+c^i$, vector generador$P_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$

Aumentar:$x^i \rightarrow x^i+v^i t$, vector generador$G_i = t \frac{\partial}{\partial x^i}$

Esta es una acción fiel del grupo galileo:$[P_i, G_j] = 0$.

2) La acción galileana elevada al espacio de fase$Q = \{x^1, x^2, x^3, p_1, p_2, p_3\}$

El significado de levantar la acción es escribir el Lagrangiano y encontrar las cargas de Noether de la simetría anterior: las cargas como funciones en el espacio de fase generarán la versión extendida centralmente del grupo. Una aplicación del teorema de Noether, obtenemos las siguientes expresiones de las cargas de Noether:

Traducción:$P_i = p_i$

Aumentar:$G_i = P_i t - m x^i$.

Los corchetes canónicos de Poisson en$t=0$(porque el espacio de fase es el espacio de datos iniciales):$\{P_i, G_j\} = m \delta_{ij}$

La razón por la que la acción elevada es una extensión central radica en el hecho de que el álgebra de Poisson de una variedad en sí misma es una extensión central del espacio de campos vectoriales hamiltonianos,

$$0\rightarrow \mathbb{R}\overset{i}{\rightarrow} C^{\infty}(M)\overset{X}{\rightarrow} \mathrm{Ham}(M)\rightarrow 0$$

donde el mapa$X$genera un campo vectorial hamiltoniano a partir de un hamiltoniano dado:

$$X_H = \omega^{ij}\partial_{j}H$$

($\omega$es la forma simpléctica. La secuencia exacta simplemente indica que los campos vectoriales hamiltonianos de funciones constantes son todos cero).

Así, si el álgebra de Lie admite una extensión central no trivial, esta extensión puede materializarse en los corchetes de Poisson (el resultado de un corchete de Poisson puede ser una función constante).

3) La razón por la que la acción también se extiende es que en la mecánica cuántica las funciones de onda son secciones de un haz de líneas sobre la variedad de configuración. Un paquete de líneas en sí mismo es un$\mathbb{C}$paquete sobre el colector:

$$0\rightarrow \mathbb{C}\overset{i}{\rightarrow} \mathcal{L}\overset{\pi}{\rightarrow} M\rightarrow 0$$

por lo tanto, uno esperaría una extensión en la acción grupal levantada. Los paquetes de líneas pueden adquirir fases no triviales en una transformación dada. En el caso de los impulsos, la ecuación de Schrödinger no es invariante bajo impulsos a menos que la transformación de la función de onda sea de la forma:

$$\psi(x) \rightarrow \psi'(x) = e^{\frac{im}{\hbar}(vx+\frac{1}{2}v^2t)}\psi(x+vt)$$

Los generadores de impulso infinitesimal:

$$\hat{G}_i = im x_i + \hbar t \frac{\partial}{\partial x_i}$$

Así en$t=0$, obtenemos:$[\hat{G}_i, \hat{P}_j] = -im \hbar\delta_{ij}$

Así, en resumen, la acción del grupo de Galileo sobre el espacio de configuración de la partícula libre no se extiende, mientras que la acción sobre el espacio de fase del álgebra de Poisson y el haz cuántico de líneas no se extienden centralmente.

La clasificación de las acciones de grupo en paquetes de líneas y extensiones centrales se puede realizar mediante cohomología de grupos de Lie y álgebra de Lie . Una buena referencia sobre este tema es el libro de Azcárraga e Izquierdo. Este libro contiene un tratamiento detallado de la cohomología del álgebra galileana. Además, hay dos artículos legibles de van Holten: ( primero , segundo ).

Las acciones grupales en paquetes de líneas (es decir, la mecánica cuántica) se clasifican en el primer grupo de cohomología del grupo de Lie, mientras que las extensiones centrales se clasifican en el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie. El problema de encontrar extensiones centrales a las álgebras de Lie se puede reducir a una construcción algebraica manejable. Se puede formar un operador BRST:

$$Q = c^i T_i + f_{ij}^k c^i c^j b_k$$

Donde$b$abd$c$son variables conjugadas anticonmutación:$\{b_i, c_j \} = \delta_{ij}$.$T_i$son los generadores de álgebra de Lie.

No es difícil comprobar que$Q^2 = 0$

Si podemos encontrar una solución constante a la ecuación$Q \Phi = 0$con$\Phi = \phi_{i j} c^i c^j$

que toma la siguiente forma en componentes, tenemos

$$f_{[ij|}^k \phi_{k|l]} = 0$$

(Los corchetes en los índices significan que los índices$i, j, l$son anti-simetrizados. Luego se cierra la siguiente extensión central:

$$[\hat{T}_i, \hat{T}_j] = i f_{ij}^{k} \hat{T}_k + \phi_{ij}\mathbf{1}$$

El segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie del grupo de Poincaré se está desvaneciendo, por lo que no tiene una extensión central no trivial. Se puede encontrar una pista de eso en el hecho de que la acción relativista de partículas libres es invariante bajo las transformaciones de Poincaré. (Sin embargo, esta no es una prueba completa porque es para una realización específica). Un teorema general en la cohomología del álgebra de Lie afirma que las álgebras de Lie semisimples tienen un segundo grupo de cohomología que desaparece. Los productos semidirectos de espacios vectoriales y álgebras de Lie semisimples también tienen una segunda cohomología que se desvanece, siempre que no haya dos formas invariantes en el espacio vectorial. Este es el caso del grupo Poincaré. Por supuesto, uno puede probar el caso especial del grupo de Poincaré por el método BRST descrito anteriormente.

Las extensiones centrales se clasifican por el segundo grupo de cohomología: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_extension . Si este grupo es trivial, entonces cada extensión central es semidirecta (y por lo tanto, en cierto sentido, trivial). En particular, este es el caso del grupo de Poincaré pero no del grupo de Galilei.

Sin embargo, si desea tomar un límite no relativista comenzando con el grupo de Poincaré, debe introducir la energía no relativista$E= cp_0 -mc^2$, que solo se puede hacer en una extensión central (trivial) de 11 dimensiones del grupo de Poincaré mediante un generador central, la masa$m$. De esta forma, las presentaciones del grupo de Poincaré y del grupo de Galilei pueden parecerse mucho.