La solución explícita de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una partícula libre que comienza como una función delta

Question

La solución explícita de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una partícula libre que comienza como una función delta

Emilio Pisanty

Un hilo anterior analiza la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una partícula masiva en una dimensión que comienza en el estado $\Psi(x,0) = \delta(x)$ . Esto se puede resolver fácilmente en la representación del momento, dando la solución como

Ψ (X, t) = \frac{1}{2 π} {mi}^{i \frac{metro}{2 ℏ t} X^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- i \frac{ℏ t}{2 metro} (k - \frac{metro}{ℏ t} X)^{2}} d k,

$\Psi(x,t) = \frac{1}{2 \pi} e^{i\frac{m}{2\hbar t}x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\frac{\hbar t}{2m}(k-\frac{m}{\hbar t}x)^2} \operatorname{d}k,$ y esta transformada de Fourier a la representación de posición es una integral de Fresnel que se puede integrar explícitamente para dar la solución explícita

\begin{matrix} (*) & Ψ (X, t) = {\begin{cases} d (X) & t = 0, \\ \sqrt{\frac{metro}{2 π ℏ | t |}} {mi}^{- i s gramo norte (t) π / 4} Exp [i \frac{metro X^{2}}{2 ℏ t}] & t \neq 0. \end{cases} \end{matrix}

$\Psi(x,t)=\begin{cases}\delta(x) & t=0,\\ \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}} e^{-i\,\mathrm{sgn}(t)\pi/4} \exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right] &t\neq 0. \end{cases} \tag{$*$}$

Ahora bien, este procedimiento a veces puede parecer un poco retorcido y deja una duda persistente sobre si la solución en $(*)$ en realidad satisface la ecuación diferencial

\begin{matrix} (S) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ (X, t) \end{matrix}

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) \tag S$ en algún sentido adecuado.

Si bien puede parecer solo un caso de llenar los vacíos, en función del tiempo, $\Psi(x,t)$ es muy irregular en $t=0$ , ya que contiene una singularidad en el factor de $e^{-i\,\mathrm{sgn}(t)\pi/4}/\sqrt{|t|}=1/\sqrt{i\:\!t}$ , y la exponencial

Exp (i \frac{metro X^{2}}{2 ℏ t}) = porque (\frac{metro X^{2}}{2 ℏ} \frac{1}{t}) + i pecado (\frac{metro X^{2}}{2 ℏ} \frac{1}{t})

$\exp\left(i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right) = \cos\left(\frac{mx^2}{2\hbar}\frac{1}{t}\right) +i\sin\left(\frac{mx^2}{2\hbar}\frac{1}{t}\right)$ oscila infinitamente rápido en

t \to 0^{\pm}

$t\to 0^\pm$ , por lo que el comportamiento de la solución en el

t = 0

$t=0$ la línea es muy irregular (y de hecho tiene una singularidad esencial ). Esto es de esperar hasta cierto punto: la condición inicial

Ψ (x, 0) = δ (x)

$\Psi(x,0) = \delta(x)$ es una distribución , y la ecuación de Schrödinger llama, como mínimo, la segunda derivada de esa función delta, por lo que en la medida en que se cumpla la ecuación de Schrödinger, será solo en algún tipo de sentido distribucional ; esto probablemente será un poco desafiante, pero de lo contrario debería ser posible.

Entonces, solo para llenar los vacíos: en qué sentido, y sin referirse a la representación del momento, es $(*)$ una solución de $(\mathrm{S})$ ?

Respuestas (1)

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qmecanico · Answer 1

Prueba esbozada: si definimos una distribución regularizada

\begin{aligned} Ψ_{ϵ} [F; t] & := \iint_{R^{2}} \frac{d X d k}{2 π} F (X) Exp {i k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} (ϵ + i t)} \\ (A) & = \sqrt{\frac{metro}{2 π ℏ (ϵ + i t)}} \int_{R} d X F (X) Exp {- \frac{metro X^{2}}{2 ℏ (ϵ + i t)}}, t \in R, ϵ \in R_{+}, \end{aligned}

$\begin{align}\Psi_{\epsilon}[f;t] ~&:=~\iint_{\mathbb{R ^2}} \!\frac{\mathrm{d}x~\mathrm{d}k}{2\pi}~f(x) \exp\left\{ ikx-\frac{\hbar k^2}{2m}(\epsilon +it)\right\} \cr~&=~\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar(\epsilon +it)}}\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}x~f(x) \exp\left\{ -\frac{m x^2 }{2\hbar(\epsilon +it)}\right\} ,\quad t~\in~\mathbb{R},\quad \epsilon~\in~\mathbb{R}_+, \tag{A}\end{align}$

para una función de prueba espacial $f$ , se puede mostrar en primer lugar a través del teorema de convergencia dominada de Lebesgue que $\Psi_{\epsilon}[f;t]$ se convierte en la distribución delta de Dirac

\begin{matrix} (B) & \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \underset{t \to 0}{límite} Ψ_{ϵ} [F; t] = d [F] := F (0) para t \to 0, \end{matrix}

$\lim_{\epsilon\to 0^+}\lim_{t\to 0}\Psi_{\epsilon}[f;t] ~=~ \delta[f]~:=~f(0) \quad\text{for}\quad t~\to~ 0, \tag{B}$

y en segundo lugar que los regularizados $\Psi_{\epsilon}[f;t]$ cumple TDSE para $t\in\mathbb{R}$ y $\epsilon\in\mathbb{R}_+$ . Aquí la derivada espacial

\begin{matrix} (C) & Ψ_{ϵ, X X} [F; t] := Ψ_{ϵ} [F_{X X}; t] \end{matrix}

$\Psi_{\epsilon,xx}[f;t]~:=~\Psi_{\epsilon}[f_{xx};t]\tag{C}$ se define en el sentido usual de distribución.

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Emilio Pisanty

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qmecanico

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