Separación de variables en varias EDP, significado físico

El método de separación de variables produce una constante de separación indeterminada y una familia de soluciones indexadas por los valores de esta constante.

Por ejemplo, en el caso de una varilla infinitamente larga a lo largo del eje x positivo (con condiciones de contorno adecuadas, como una temperatura fija al principio y una distribución de temperatura dada en el tiempo inicial), la constante de separación, − k 2 , puede variar continuamente, y las soluciones son de la forma

T k ( X , t ) = C ( k ) ⋅ pecado ⁡ k X ⋅ mi − k 2 α t

Entonces se supone que uno debe integrarse sobre k para obtener la respuesta. En el caso de una barra finitamente larga, los valores de la constante se cuantifican y se pueden sumar, en lugar de integrar.

Pero cuando tratamos con la ecuación de Schroinger para una partícula en una caja, solo nos interesan las funciones propias correspondientes a los valores de la constante de separación, que asociamos con la energía. Pero la solución general sería una superposición de estas funciones de onda. Supongamos que estamos tratando con una caja 3D de longitud L , entonces las funciones propias son:

ψ k , ℓ , metro ( X , y , z ) = 8 L 3 pecado ⁡ π L k X ⋅ pecado ⁡ π L ℓ y ⋅ pecado ⁡ π L metro z , k , ℓ , metro ∈ norte

Mi pregunta: ¿hay algún significado físico para la función:

ψ = ∑ k ∑ ℓ ∑ metro C k , ℓ , metro ψ k , ℓ , metro ,
dónde C k , ℓ , metro son coeficientes constantes. Claramente esta función es una solución a la ecuación de Schrödinger, por el principio de superposición. Pero, ¿esta función describe algo en absoluto? ¿O es que, a diferencia del caso de la transferencia de calor, solo importan las funciones propias?

Respuestas (2)

Has olvidado una cosa crucial cuando has escrito tu superposición: la separación ψ k , ℓ , metro ( X , y , z ) son funciones propias del hamiltoniano con diferentes valores propios. La superposición ya no será un estado propio debido a esto. De hecho, al tomar una superposición adecuada, podría obtener cualquier función que desee (en su caso, con las condiciones de contorno de desaparecer en el borde de la caja).

Pero esto es exactamente lo mismo que su primer ejemplo, una vez que haya recordado de dónde vino el valor propio (energía): es cuando hace la separación de variables en la ecuación de Schr\:odinger dependiente del tiempo

H ψ = i ℏ ∂ ψ ∂ t .
Si incluye el exponencial dependiente del tiempo apropiado, su ecuación final le dirá cómo evoluciona la función de onda, dado el estado inicial:
ψ ( X , y , z , t ) = ∑ k ∑ ℓ ∑ metro C k , ℓ , metro ψ k , ℓ , metro ( X , y , z ) mi − i mi t ℏ .
En particular, en t = 0 obtienes tu ecuación original, que ahora sabemos que da una función completamente arbitraria de X , y , z . Pero eso está bien: esta función arbitraria ahora aparece como la condición inicial, exactamente como en su ejemplo de ecuación de calor.

Tiene un significado absolutamente físico: la suma es lo que te da la probabilidad final de que la partícula esté en una ubicación particular. Pero, a menudo, conocer solo el número único no es lo suficientemente ilustrativo como para obtener mucha información, razón por la cual observamos las funciones propias individualmente.

La mecánica cuántica no es mi área, pero la relacionaré con la mecánica clásica y las vibraciones. Podemos encontrar el desplazamiento de una viga en flexión como la suma de los modos. Eso es genial si solo queremos saber el desplazamiento. Pero a menudo queremos conocer las frecuencias naturales, las contribuciones modales (cuánto contribuye cada modo individual a la energía o al desplazamiento), etc. También a menudo solo nos interesa el modo más bajo, ya que normalmente impulsa la solución.

Entonces, si bien podemos ver la respuesta total, eso no nos ayuda en nada. Es posible que no necesitemos calcular todos los modos, es posible que solo queramos el primero. O es posible que no podamos calcularlos todos debido a los gastos, por lo que solo sumamos los que queremos. O podríamos querer ver en qué puntos hay nodos comunes a través de los múltiples modos, o podríamos querer ver contenidos de energía relativos o...

Se pueden aprender muchas cosas de la descomposición modal. La suma de los modos es la respuesta total, una sola función, que es útil en algunos casos, pero a menudo no ilustra mucho de la física de lo que está pasando en detalle. Solo el "resumen". Algo así como saber la media de una función; a veces es bueno, pero conocer más información es mejor.

la separación de variables solo funciona cuando hay superposición y eso definitivamente tiene un significado físico, por lo que estoy confundido en cuanto a por qué afirmarías: "Tiene un significado absolutamente físico"
Separación de variables en varias EDP, significado físico
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v