¿Cuándo podemos suponer que la función de onda es separable?

Mientras se resuelven los estados estacionarios de una sola partícula en una caja de potencial infinito 3d ( V = 0 dentro de un paralelepípedo de dimensiones conocidas, V = ∞ en cualquier otro lugar), me di cuenta de que tenía que asumir que la función de onda era separable en un producto de tres funciones, ψ ( X , y , z ) = X ( X ) Y ( y ) Z ( z ) , para encontrar ψ . ¿Por qué es así y en qué condiciones? ¿Qué me garantiza que puedo hacer esto? El texto que estoy siguiendo no es particularmente claro al respecto.

En realidad, hay buenas pruebas rigurosas del hecho de que la suposición de separabilidad para sistemas particulares no "destruye" ninguna información sobre el problema, y ​​​​recuerdo vagamente que implican examinar la invariancia del hamiltoniano bajo la acción de los grupos de Lie asociados con la simetría grupo del sistema, pero honestamente no conozco los detalles. No hace falta decir que la mayoría de los libros de introducción evitan por completo la mención de tales dificultades (ya que de lo contrario el texto caería en espiral por un camino complicado que sería pedagógicamente suicida).
Ya veo. Me preguntaba si podríamos simplemente suponer que esto es cierto para casi todas las aplicaciones prácticas, o si hay contraejemplos patológicos, o no hay contraejemplos en absoluto.
Hay muchos contraejemplos. Por ejemplo, podría intentar suponer que la partícula en el cuadro 2D tiene estados propios que son separables en coordenadas polares ( r , ϕ ) , pero esto falla porque los estados propios resultan no ser separables en esas coordenadas. Sin embargo, la mayoría de los sistemas cuánticos prototípicos que se pueden resolver exactamente se modelan en un sistema de coordenadas en el que el sistema termina siendo separable, por lo que cuando aprende sobre ellos, no tiene que preocuparse por eso. Pero, en general, no es necesariamente seguro asumir que el sistema es separable en cualquier sistema de coordenadas arbitrario.
Un ejemplo más complicado de la incapacidad general para separar variables lo da cualquier situación en la que falla la Aproximación de Born-Oppenheimer. Por ejemplo, en física molecular a menudo se supone que existe una separabilidad entre las coordenadas de rotación, traslación, vibración, electrónica y de espín nuclear, pero en realidad esta es una aproximación que falla, por ejemplo, en el caso de experimentalmente. firmas espectrales observadas de acoplamiento rovibrónico.
Se justifica porque funciona. Cuando está resolviendo una ecuación diferencial, la respuesta está determinada únicamente por la ecuación y las condiciones de contorno. Cuando pruebe una solución, si funciona, entonces acéptela. @DumpsterDoofus ¿Tu caja 2D es cuadrada o una esfera 2D?
@luming: estaba dando un ejemplo de un cuadrado 2D. Puede formular la ecuación de Schrödinger para un pozo cuadrado infinito 2D en coordenadas polares, asumir la separación de variables y fallará (porque las funciones de onda no son separables en coordenadas polares). El OP está de acuerdo en que, en el caso de la caja cuadrada infinita 3D, asumir la separación de variables produce soluciones que satisfacen la ecuación de Schrödinger. Supongo que lo que le preocupa es si hay estados propios que se "pierden" al aplicar esta suposición.
Dicho esto, en el caso especial del cubo 3D infinito, puedes demostrar rigurosamente que la separación de variables debe dar todas las soluciones, porque el hamiltoniano es la suma directa de tres operadores, lo que (¿creo?) significa que las funciones de onda son tensoriales. productos de los estados propios de los operadores individuales, lo que significa que los estados propios son cartesianos separables. Para sistemas más complicados, no tengo idea de cómo funciona eso (es demasiado complicado para que lo entienda).
Sin embargo, Rod Vance o algunos de los otros usuarios de alta reputación podrían saberlo.
@DumpsterDoofus En el caso de un cuadro cuadrado infinito, pensé que podíamos separar la variable en r y θ , luego satisfaga la condición de contorno de la caja cuadrada. Deberíamos obtener exactamente los mismos valores propios al hacerlo en la coordenada cartesiana. ¿No es verdad?
@luming: No, eso no funciona en absoluto. Por ejemplo, el estado fundamental norte X = 1 , norte y = 1 de la caja de pozos cuadrados infinitos 2D con L X = L y = 1 es 2 pecado ⁡ ( π X ) pecado ⁡ ( π y ) , que no se puede escribir en la forma A ( r ) B ( θ ) . Puede probar la imposibilidad insertando X → r porque ⁡ ( θ ) , y → r pecado ⁡ ( θ ) y luego trazar el resultado para fijo r y variable θ . Nunca será constante para ninguna elección de r > 0 . Por lo tanto, la separación de variables falla por completo en ese caso, sin importar cuánto lo intente.
@luming: Además, el estado fundamental es degenerado simple, por lo que no hay posibilidad de que exista una combinación lineal dentro del subespacio degenerado que admita una descomposición de la forma A ( r ) B ( θ ) . De lo contrario, para los estados excitados degenerados múltiples ( norte X > 1 o norte y > 1 ), sabe que la función de onda siempre debe satisfacer la condición de límite cero en los bordes, pero combinando eso con la suposición de que ψ = A ( r ) B ( θ ) significa que la función de onda debe ser cero para todo r > 0.5 , que incluye muchos de los puntos dentro de la caja! Esto es una contradicción.
@luming: En realidad, olvídese de mi razonamiento en la oración "trazar el resultado para fijo r y variable θ ...", eso estaba mal. El razonamiento correcto es que en coordenadas polares el estado fundamental está dado por ψ ( r , θ ) = pecado ⁡ ( π r pecado ⁡ ( θ ) ) pecado ⁡ ( π r porque ⁡ ( θ ) ) . Sin embargo, la relación ψ ( r 1 , θ ) / ψ ( r 2 , θ ) no es independiente de θ cuando sea r 1 ≠ r 2 . Sin embargo, si fuera separable, se obtendría A ( r 1 ) / A ( r 2 ) , que es constante. Esto es una contradicción.
@DumpsterDoofus Como dijiste antes, el hamiltoniano es la suma directa de dos operadores pags X 2 , pags y 2 . Sin embargo, al escribir en coordenada polar, el hamiltoniano no puede escribir como suma directa de dos operadores en los que cada uno de ellos solo contiene r o θ . Creo que esto explica por qué no podemos separar la función de onda en la forma como A ( r ) B ( θ ) . Recuerde cómo resolvemos el problema del átomo de hidrógeno, solo podemos separar la función de onda así: R ( r ) Y ( θ , ϕ ) , porque solo podemos escribir hamiltoniano como O ( r ) + O ′ ( θ , ϕ )

Respuestas (2)

La separación de variables es de hecho un tema delicado en las ecuaciones diferenciales parciales. A día de hoy no tenemos (hasta donde yo sé) una teoría completa sobre las condiciones que lo hacen posible. La postura habitual es tener teoremas de existencia y unicidad para las soluciones de una PDE dada y usando algunos ansatz de separación de variables, al encontrar una solución general, deberíamos tener la solución como comentó Luming.

Hasta donde yo sé, para casos específicos, tenemos una justificación rigurosa para usar la separación de variables en coordenadas dadas, que están relacionadas con el grupo de simetría que actúa en el PDE (como dijo BumbsterDoofus también en los comentarios). Un libro (algo antiguo) que explica esto es "Simetría y separación de variables" de Miller que puede encontrar en línea aquí http://www.ima.umn.edu/~miller/separationofvariables.html . Como dice en el prefacio, sabemos cómo justificar algunas EDP (especialmente las de menor dimensión), pero no tenemos una teoría completa para todas las ecuaciones diferenciales que nos gustaría considerar (por ejemplo, la ecuación de onda tridimensional). No conozco más desarrollos más allá del libro de Miller, pero lo he buscado y no he encontrado cambios determinantes (pero eso puede deberse a mi ignorancia).

En cualquier caso, siempre que esté considerando los estados vinculados, no creo que deba preocuparse por esas cosas, los teoremas de existencia y unicidad junto con su capacidad para proporcionar una solución general deberían ser suficientes (siempre sospecho de la dispersión porque no son integrables al cuadrado y podrían ser más sutiles). Si no está satisfecho con esta respuesta, creo que sería una gran pregunta sobre el intercambio de pila de matemáticas para preguntar por el estado de separación de variables, aunque creo que la respuesta se relaciona con el grupo de simetría de la PDE en cuestión de todos modos, y podría ser excesivo para su contexto.

La lógica es como la siguiente.

Podemos adivinar la solución en formas de X ( X ) Y ( y ) Z ( z ) para una partícula en una caja tridimensional. Podemos encontrar tales soluciones. La pregunta es, ¿nos perdemos alguna solución?

La función X ( X ) es función propia del operador autoadjunto

(1) H X = − 1 2 ∂ 2 ∂ X 2 + V ( X )
V ( X ) es el potencial de la pared infinita. Y lo mismo para y , z . Por lo tanto, forman un conjunto completo de funciones bajo condiciones de contorno adecuadas. Desarrollamos la forma general de solución como
(2) ψ ( X , y , z ) = ∑ yo ∑ metro ∑ norte C yo metro norte X yo ( X ) Y metro ( y ) Z norte ( z )

Ya que [ H X , H ] = 0 , la función propia de una partícula en una caja tridimensional forma un estado propio simultáneo como función propia de H X . podemos dejar caer ∑ yo y el yo dependencia en el coeficiente de expansión C C yo metro en la ecuación (2). Lo mismo se aplica a y y z . Por lo tanto, la función propia de la partícula en la caja tridimensional se puede escribir como X ( X ) Y ( y ) Z ( z ) .

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