¿Qué significado físico tiene el Grupo Heisenberg?

Es posible que desee ver:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf capítulo 13,

es decir, las conferencias "Mecánica cuántica para matemáticos: el grupo de Heisenberg y la representación de Schrödinger" de Peter Woit, en las que se analiza en detalle la importancia del grupo de Heisenberg. Pero su significado físico NO es como un conjunto de simetrías de la situación física. Así que tenga cuidado con las analogías estrechas entre la relación de conmutación canónica y el finito (digamos$n$) grupo dimensional de mentira de Hiesenberg$\mathfrak{H}_n\left(\mathbb{R}\right)$. La cosa en el lado derecho de la relación.$\left[\mathbf{x},\,\mathbf{p}\right] = i \, \hbar \,\mathbf{i}$en el álgebra de dimensión finita$\mathfrak{h}_n\left(\mathbb{R}\right)$NO es la matriz de identidad, es simplemente algo que conmuta con todo lo demás en el álgebra de Lie. Fue Hermann Weyl quien señaló que la relación de conmutación canónica no puede referirse a un álgebra de Lie de dimensión finita: en tales álgebras, un corchete de Lie$\left[\mathbf{x},\,\mathbf{p}\right]$(entre matrices cuadradas) tiene traza cero pero la matriz identidad (o un múltiplo escalar, como en el RHS del CCR) no. Uno tiene que pasar a operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita ($e.g.$ $p = i \,\hbar \,d/dx$) para encontrar la plena realización de la relación de conmutación canónica.

Otra forma de entender que el comportamiento del álgebra de Heisenberg Lie de matriz de dimensión finita es radicalmente diferente al del CCR es el propio principio de incertidumbre. El producto de las incertidumbres RMS para mediciones simultáneas de dos observables que no conmutan$\hat{a}, \hat{b}$dado un estado cuántico$\psi$está acotado desde abajo por el número real positivo$\frac{1}{2}\left|\left<\psi|c|\psi\right>\right|$dónde$\left[\hat{a},\hat{b}\right] = i c$(ver sección 10.5 de la edición 3 de Merzbacher "Quantum Mechanics"). Si$c$es una matriz cuadrada finita y, como en el álgebra de Heisenberg, no es de rango de fila completo, hay ciertos estados (aquellos en$c$espacio nulo de ) donde el producto de incertidumbre puede ser cero. Entonces, el álgebra matricial de dimensión finita no puede modelar el postulado físico de Heisenberg.

Véase también el artículo de Wikipedia sobre el grupo de Heisenberg.