¿Es el potencial del oscilador armónico único en tener niveles de energía discretos igualmente espaciados?

Creo que mi respuesta aquí a la pregunta "¿Cómo se determinan sistemáticamente los operadores de escalera?" da al menos una respuesta parcial a su pregunta. Es una respuesta parcial porque asumo un poco más que su simple pregunta, pero luego, como vemos al observar cuidadosamente las observaciones de la respuesta de yuggib, obviamente puede escribir un hamiltoniano con valores propios igualmente espaciados y luego caracterizar a toda la familia de tales hamiltonianos. Queda claro que necesita hablar sobre algo más que simplemente el hamiltoniano para responder a su pregunta: necesitamos definir otros observables y cómo se comportan para definir algo similar a un "potencial".

Veamos la respuesta de yuggib . Obviamente, puede escribir un hamiltoniano con valores propios igualmente espaciados. Luego, mientras contrarresta, en su comentario:

" ¿Esto realmente califica como una prueba? Claro que puedes hacer operadores con cualquier conjunto de valores propios discretos, pero ¿cómo sabes que no son todos equivalentes entre sí y el potencial armónico? Además, debo decir que realmente quiero decir un potencial, porque obviamente puedes escribir un hamiltoniano como una matriz y darle valores propios equidistantes, pero ¿cómo puedes saber qué potencial lo originó ?

Para esta pregunta, elijo estados propios de energía acotados desde abajo . De lo contrario, podría obtener estados de energía arbitrariamente negativos y no habría un estado fundamental cuántico. Esto puede o no ser más de lo que quiere suponer, pero creo que es físicamente razonable. Como dije, estoy dando una respuesta parcial . Así que ahora nuestro conjunto de índices$I$se convierte de hecho en el conjunto de enteros semipositivos$\mathbb{N}$. Entonces, en la notación de la respuesta de yuggib , elija una base ortonormal$\left\{Y_j\right\}_{j=0}^\infty$para nuestro separable asumido (esta es otra suposición que debemos aplicar) espacio de Hilbert de estados cuánticos con$P_j Y_k = \delta_{j\,k} Y_k$, dónde$\delta$es claramente el delta de Kronecker y$P_j$son los operadores de proyección sobre los vectores base. Entonces, el hamiltoniano más general con valores propios equiespaciados es como está escrito en la respuesta de yuggib con:

$$\lambda_i = E_0 + \sigma(i) \Delta$$

dónde$E_0$es la energía del estado fundamental,$\Delta$el espaciamiento de energía y$\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$una biyección entre$\mathbb{N}$y en sí mismo Entonces, hay un número infinito de hamiltonianos con niveles de energía equiespaciados. Todos los miembros de cada familia de dichos hamiltonianos definidos por la energía del estado fundamental de la familia$E_0$y espaciado$\Delta$son unitariamente equivalentes entre sí: dos miembros$\hat{H}_1,\,\hat{H}_2$son equivalentes por$\hat{H}_1 = U\,\hat{H}_2\,U^\dagger$con$U$algún operador unitario.

Entonces, ¿cómo convertir esto en algo así como un "potencial"? Mi solución es entonces definir de forma abstracta los observables de posición y momento.$\hat{X},\,\hat{P}$y hacemos nuestras últimas tres suposiciones:

1. Cumplen la relación de conmutación canónica$\hat{X}\,\hat{P} - \hat{P}\,\hat{X}=i\,\hbar\,\mathrm{id}$;

2. Las medidas de estos observables varían sinusoidalmente con el tiempo;

3. Nuestros observables son operadores hermitianos.

Así que ahora escribimos un estado cuántico general como:

$$\psi = \sum\limits_{j\in\mathbb{N}} \psi_j e^{-i\,\left(j\,\omega_0+\frac{E_0}{\hbar}\right)\,t}$$

de modo que la media de un observable general$\hat{A}$es:

$$\left<\left.\psi\right|\right.\hat{A}\left.\left|\psi\right.\right> = \sum\limits_{j=0}^\infty a_{j,j}|\psi_j|^2 + 2\,{\rm Re}\left(\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{k=j+1}^\infty a_{j,k} \psi_j \psi_k^* \exp(i\,\omega_0\,(k-j)\,t)\,\right)$$

podemos ver fácilmente que los observables con medios de medición que varían sinusoidalmente deben tener dos franjas diagonales diagonales conjugadas complejas colocadas simétricamente. Además, el desplazamiento desde la diagonal principal debe ser el mismo para ambos$\hat{X},\,\hat{P}$si van a cumplir con el CCR. El caso más simple es cuando las dos franjas están inmediatamente por encima y por debajo de la diagonal principal. En este caso, las medias de los observables variarán como$\cos(\omega_0\, t + \phi_0)+const.$: si las dos rayas están desplazadas$N$pasos a cada lado de la diagonal principal, entonces tenemos una variación que varía como$\cos(N\,\omega_0\, t + \phi_0)+const.$. El caso con las rayas desplazadas$N$de los análisis de rendimiento diagonal principal que son esencialmente los mismos que los siguientes, como se analiza en mi otra respuesta: esencialmente pertenecen a un oscilador cuántico con$N$veces el espaciamiento de energía del que hablamos aquí.

Así que ahora, sin pérdida de generalidad, en nuestra base asumida podemos escribir los observables hermitianos como:

$$\begin{array}{ll}\hat{X} = \sqrt{\frac{\hbar}{2}}\left(\tilde{X} + \tilde{X}^\dagger\right) \\ \hat{P} = \sqrt{\frac{\hbar}{2}}\left(\tilde{P} + \tilde{P}^\dagger\right)\end{array}$$

dónde:

$$\tilde{X} = \left(\begin{array}{ccccc}0&x_1&0&0&\cdots\\0&0&x_2&0&\cdots\\0&0&0&x_3&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)\quad\tilde{P}=\left(\begin{array}{ccccc}0&p_1&0&0&\cdots\\0&0&p_2&0&\cdots\\0&0&0&p_3&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)$$

son ambas matrices triangulares superiores de rayas solitarias arbitrarias. Deberá consultar mi otra respuesta a la que hice referencia anteriormente para obtener detalles completos, pero al escribir el CCR encontramos que:

$$\begin{array}{ll}\hat{X} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\,m\,\omega_0\,\cos\chi}}\left(a^\dagger\,e^{-i\,\xi} + a\,e^{i\,\xi}\right) \\ \hat{P} = i\,\sqrt{\frac{\hbar\,m\,\omega_0}{2\,\cos\chi}}\left(a^\dagger\,e^{-i\,(\xi+\chi)} - a\,e^{i\,(\xi+\chi)}\right) \end{array}$$

donde hemos definido la constante compleja arbitraria$\alpha = -i\,m\,\omega_0\,e^{i\,\chi}$escribiéndolo en términos de una segunda magnitud real positiva$m$con las dimensiones de masa y un factor de fase arbitrario$\chi$y donde también hemos definido:

$$a = \left(\begin{array}{ccccc}0&\sqrt{1}&0&0&\cdots\\0&0&\sqrt{2}&0&\cdots\\0&0&0&\sqrt{3}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)$$

y su conjugado hermitiano como los operadores de escalera habituales.

Se puede mostrar de forma bastante directa que nuestra derivada$\hat{X},\,\hat{P}$debe tener espectros continuos. Entonces, si cambiamos nuestras coordenadas para que trabajemos en coordenadas de posición, es decir , donde$\hat{X}$se convierte en el operador diagonal (multiplicación)$\hat{X}f(x) = x f(x)$por$f(x)\in \mathcal{H} = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$, entonces podemos argumentar como lo hago en mi respuesta aquí que es necesario un sistema de coordenadas en el que$\hat{X}f(x) = x f(x)$ y $\hat{P} f(x) = -i\,\hbar\,\nabla f(x)$. Así que ahora el hamiltoniano en estas coordenadas es:

$$\begin{array}{lcl}\hat{H} &=& \hbar\,\omega_0 \left(a^\dagger\,a + \frac{1}{2}I\right) + \left(E_0 - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)I\\ &=& \frac{1}{2\,m\,\cos\chi} \hat{P}^2 + \frac{1}{2\,\cos\chi}\,m\,\omega_0^2\,\hat{X}^2 - \frac{\omega_0\,\tan\chi}{2}(\hat{X}\hat{P} + \hat{P}\hat{X}) +\left(E_0 - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)I\end{array}$$

de modo que la ecuación de Schrödinger en estas coordenadas es:

$$i\hbar\partial_t \psi = -\frac{1}{2\,m\,\cos\chi} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2\,\cos\chi} m\,\omega_0^2 |\vec{x}|^2 \psi + i\,\hbar\,\omega_0\,\tan\chi\,\vec{x}\cdot\nabla \psi + \left(E_0 +i\,\frac{\tan\chi\,\hbar\,\omega_0}{2} - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)\psi$$

y la ecuación de Schrödinger más "tradicional" se recupera cuando$\chi = 0$y$E_0 = \hbar\,\omega_0/2$:

$$i\hbar\partial_t \psi = -\frac{1}{2\,m} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2} m\,\omega_0^2 |\vec{x}|^2 \psi$$

y vemos que debemos tener un potencial cuadrático. Entonces, en resumen, enumeremos las suposiciones que llevan a esta conclusión:

1. Espacio de estado cuántico separable;
2. Niveles de energía equiespaciados limitados desde abajo;
3. La existencia de observables de posición y momento hermitianos que cumplan con el CCR y
4. Las medidas de los observables varían sinusoidalmente con el tiempo.

Todavía no he analizado el caso en el que relajamos la suposición 4. De lo anterior, vemos que los niveles de energía equiespaciados implican variaciones periódicas de mediciones con el tiempo, y me parece que esta relajación probablemente produciría un potencial mucho más general en posición coordenadas.

Según la teoría espectral inversa influenciada por Barry Simon Fritz Gesztesy (Enviado el 2 de febrero de 2010), página 4:

Un problema abierto particularmente interesante en la teoría espectral inversa se refiere a la caracterización de la clase de potenciales isoespectrales$V$con espectros puramente discretos (por ejemplo, el oscilador armónico$V(x) = x^2$).

Problema muy interesante! Se lo propondré a mis alumnos.

Sin embargo, la respuesta es positiva hasta los isomorfismos de los espacios de Hilbert si se supone que todo espacio propio tiene dimensión$1$.

Hago hincapié en que el siguiente resultado es cierto incluso si el hamiltoniano inicial$H$no es de la forma de Schroedinger.

proposición _ Dejar$H$ser un operador autoadjunto (ilimitado) sobre el espacio de Hilbert$\cal H$tal que para una constante real$\omega \neq 0$

$$\sigma(H)= \sigma_p(H) = \{\omega n \:|\: n=0,1,2,\ldots\}\tag{1}$$ y cada espacio propio tiene dimensión$1$. Bajo estas hipótesis hay un mapa unitario$U: {\cal H} \to L^2({\mathbb R}, dx)$tal que, para algunos números reales fijos de forma única$\alpha, \beta$ $$U H U^{-1} = \alpha H_0 + \beta I\tag{2}$$ dónde$H_0$es el hamiltoniano estándar (autoadjunto) del oscilador armónico.

prueba _ Dejar$\psi_n$sea ​​el vector propio unitario del valor propio$\omega n$definida hasta una fase. El lapso finito $D$del$\psi_n$es densa, ya que definen la medida espectral de$H$de 1).

Podemos definir los operadores de escalera estándar sobre el dominio común$D$

$$a \psi_n = \sqrt{n}\psi_{n-1}$$ (con$\psi_{-1}:=0$) y $$a^\dagger \psi_n = \sqrt{n+1}\psi_{n+1}\:.$$ Evidentemente,$D$resulta ser invariante bajo$a$y$a^\dagger$.

A continuación, defina, sobre el dominio denso$D$, los operadores simétricos (aún no autoadjuntos)$A = \frac{1}{\sqrt{2}}(a+a^\dagger)$y$B=\frac{i}{\sqrt{2}}(a-a^\dagger)$.

Tenemos$A^2+B^2 = (\omega H + \frac{1}{2}I)|_D$.

Aquí está la observación crucial, ya que el$\psi_n$son una base de Hilbert de vectores propios de$H$,$D$es un núcleo para$H$y también para$A^2+B^2+ I$ya que esos vectores son vectores analíticos para$H$y por lo tanto también para el operador simétrico trivialmente relacionado$A^2+B^2+I^2$Por un conocido teorema de Nelson [1]$A^2+B^2+I^2$es esencialmente autoadjunto sobre$D$.

Un famoso teorema de Nelson (Teorema de Nelson sobre representaciones unitarias [1]) asegura que existe una representación unitaria fuertemente continua del único grupo de Lie conexo simplemente conexo cuya álgebra de Lie es generada por$A,B,I|_D$. Es fácil ver que este álgebra de Lie no es más que el grupo de Heisenberg.

Finalmente, el teorema de Nelson también establece que las extensiones autoadjuntas únicas de$A$,$B$y$I|_D$son los generadores autoadjuntos de los tres grupos fundamentales de un parámetro del grupo de Heisenberg.

En otras palabras, hemos encontrado que$exp(-iuA)$y$exp(-ivB)$tienen las mismas relaciones de conmutación de$exp(-iuX)$y$exp(-ivP)$

Aquí entra en juego el teorema de Stone-von Neumann (en la versión generalizada debido a Mackay, sin exigir la irreductibilidad de la representación).

Existe un operador unitario$U : {\cal H} \to \bigoplus_{k\in K}L^2(\mathbb{R}, dx)$tal que

$$U(\omega H + \frac{1}{2}I)U^{-1} = \bigoplus_{k\in K} H_0$$ de modo que $$H = \frac{1}{\omega} U^{-1}\left(\bigoplus_{k\in K} H_0- \frac{1}{2}I\right) U$$

Es claro que si$K$contiene más de un elemento,$\omega H + \frac{1}{2}I$tendría más de un vector propio para un valor propio dado contrariamente a nuestras hipótesis. De modo que$K$incluye un solo elemento y podemos escribir

$$H = U^{-1} \left(\frac{1}{\omega}H_0- \frac{1}{2\omega}I\right) U\:.$$ QED

[1] Nelson, E.: Vectores analíticos , Annals of Mathematics, 70 , 572-615 (1969).

Hay, en general, infinitos operadores con valores propios igualmente espaciados. Supongamos un operador autoadjunto$A$tiene un espectro puramente discreto (es decir, es compacto o con un disolvente compacto) y se denota por$\{\lambda_i\}_{i\in\mathbb{I}}$sus valores propios reales ($I\subseteq \mathbb{N}$): entonces por el teorema espectral se puede escribir (en su dominio de definición) como

$$A=\sum_{i\in I} \lambda_i P_i$$ dónde $P_i$es el proyector ortogonal en el subespacio propio correspondiente a $\lambda_i$.

Ahora esta igualdad, leída de derecha a izquierda define el operador$A$, eligiendo los valores propios y las proyecciones ortogonales (mutuamente disjuntas). Entonces, al jugar con proyecciones y valores propios, definirá diferentes operadores, con valores propios igualmente espaciados si lo desea. Sin embargo, puede ser necesario probar que el operador resultante es autoadjunto en un dominio adecuado (si el operador no está acotado).

Ha pasado un tiempo desde que hice Mecánica Cuántica, sin embargo, su pregunta me recordó la Teoría Cuántica Supersimétrica. En palabras más simples, es un teorema que establece que para todo potencial ($V(x)$) existe un potencial de pareja supersimétrico (SUSY) ($\tilde{V}(x)$) que tiene la misma forma funcional para los niveles de energía y difieren en sus energías por un cambio. Quantum Mechanics de Schwabl tiene una sección dedicada a esto (19) y en realidad tiene el oscilador armónico como ejemplo (19.2.3). Sin embargo, la respuesta no fue satisfactoria porque los potenciales SUSY que tenían eran...

$$V(x) = \frac{1}{2}\omega^2 x^2 -\frac{1}{2}\omega$$ $$\tilde{V}(x) = \frac{1}{2}\omega^2 x^2 +\frac{1}{2}\omega$$ Que son esencialmente equivalentes porque agregar constantes a un hamiltoniano solo cambia la energía. Entonces, de acuerdo con SUSY QM, el oscilador armónico solo se puede asignar a un oscilador armónico con un cambio de energía constante. No sé si respondí completamente a tu pregunta, ¡pero espero que te ayude!

El potencial armónico no es el único potencial con niveles de energía uniformemente espaciados.

Considere un potencial$V(X)$eso es$\frac{1}{2} m \omega_1 x^2 - \frac{1}{2} \hbar \omega_1$por$x > 0$y$\frac{1}{2} m \omega_2 x^2 - \frac{1}{2}\hbar \omega_2$por$x < 0$. Si$\omega_2$es un múltiplo libre de cuadrados de$\omega_1$entonces los niveles de energía estarán espaciados con niveles$2 \hbar \omega_1$. La razón de esto es que podemos usar el par$\omega_1$estados propios de energía para el$x > 0$parte de la función y la correspondiente$\omega_2$estados propios de energía para el$x < 0$parte. A$x = 0$podemos hacer que las funciones sean iguales, y la primera derivada es$0$ahí también. No podemos usar las soluciones impares porque las primeras derivadas de las soluciones impares nunca serán iguales en$x = 0$asumiendo que$\omega_2/ \omega_1$es sin cuadrados. Esto se debe a que la función de onda viene dada por un polinomio de Hermite$H_n(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x)$veces la curva de Gauss, y para las soluciones impares, la$x$término en$H_n$es siempre un entero.

En cualquier caso, restrinjamos ahora nuestra atención a incluso los potenciales$V(x)$, cual. Si$V(x)$es par, entonces el potencial armónico es el único potencial que tiene niveles de energía uniformemente espaciados.

Si los niveles de energía están espaciados uniformemente con espaciamiento$\Delta E$, entonces el operador de evolución temporal

$$U(t) := e^{i \hat H t / \hbar}$$

satisfará

$$U(t + \tfrac{2 \pi}{ \omega}) = e^{i \theta} U(t)$$

para todos$t$, dónde$\omega = \Delta E/\hbar$y$\theta$es una fase físicamente irrelevante que se puede configurar para$0$agregando una constante a nuestro hamiltoniano (como establecer la energía del estado fundamental en$0$).

Esto significa que bajo la evolución del tiempo, todos los estados volverán a su estado inicial cada período.$\frac{2 \pi}{\omega}$. También tenga en cuenta que, según el teorema de Erenfest, el valor esperado de la posición clásica seguirá la ecuación clásica de movimiento, por lo que también volverá a su estado inicial después del mismo período.

Ahora demostraré que el potencial armónico es el único potencial 1D simétrico para el cual todas las soluciones son periódicas con el mismo período. Por lo tanto, es el único potencial con niveles de energía uniformemente espaciados.

Primera nota que$V(x)$debe tener sólo un mínimo y ningún máximo. Si hubiera un máximo, entonces existirían soluciones de "rollo lento", rodando fuera de la colina, que pueden tomar tiempos arbitrariamente largos para salir de la colina, de modo que no todas las soluciones serían periódicas con el mismo período. Por lo tanto,$V(x)$debe alcanzar un mínimo (WLOG en$x=0$) y aumenta como$|x|$se hace más grande

De la conservación de la energía

$$\frac{1}{2} m v^2 = E - V(x)$$ $$v = \sqrt{\frac{2}{m}(E - V(x))}$$ $$v = \frac{dx}{dt}$$ $$\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - V(x))}} = dt$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - V(x))}} = \int dt$$

Podemos considerar el intervalo desde el valor máximo de$x$que alcanza la partícula,$V^{-1}(E)$, a$0$.

$$\int_0^{V^{-1}(E)} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - V(x))}} = T$$

Necesitamos que el lado derecho sea independiente de$E$si todas las soluciones han de tener el mismo periodo. (De aquí en adelante suprimiremos constantes como$2$y$m$, solo queriendo que la integral sea independiente de$E$.)

Primero cambiamos las variables para integrar con respecto a$V$:

$$\int_0^{E} \frac{1}{V'}\frac{dV}{\sqrt{E - V}}$$

dónde$V' = \frac{dV}{dx}$.

Porque$V$solo tiene un mínimo, podemos expresar$V'$como alguna función$f(V)$.

$$\int_0^{E} \frac{1}{f(V)}\frac{dV}{\sqrt{E - V}}$$

Para que esta integral sea independiente de$E$, debe ser adimensional. La única manera de lograr esto es para$f(V) \propto \sqrt{V}$. En efecto, la cantidad

$$\int_0^{E} \frac{1}{\sqrt{V}}\frac{dV}{\sqrt{E - V}}$$

también puede evaluarse explícitamente como independiente de$E$. (Está$\pi$.)

Esto significa que$V \propto x^2$, que es el potencial armónico. Esto es lo que queríamos mostrar.