Funciones de onda normalizables para estados ligados

Question

Funciones de onda normalizables para estados ligados

salmón

En mi libro de mecánica cuántica leí la siguiente oración:

Si queremos que la función de onda sea normalizable, se deben imponer condiciones de contorno:
$\underset{X \to \pm \infty}{límite} ψ (X) = 0.$ $\lim_{x \to \pm\infty} \psi(x)=0.$

Mi pregunta es la siguiente:

Por lo que entendí al leer otras respuestas en este foro, una función de onda en general no tiene que ser continua, la única condición requerida es que pertenezca a $L^2$ (siempre hablando de estados ligados, por ejemplo un oscilador armónico).

La única condición que $\lim_{x \to \pm\infty} \psi(x)=0$ , no hace que la función de onda sea automáticamente normalizable, por ejemplo, una función de onda del tipo $\psi(x)=1/x^2$ , cumple las condiciones anteriores pero no es normalizable y ni siquiera es de clase $L^2$ .

¿Es posible que mi libro esté considerando implícitamente solo funciones de onda continuas? De manera que la

\underset{X \to \pm \infty}{límite} ψ (X) = 0

$\lim_{x \to \pm\infty} \psi(x)=0$ condición implica automáticamente que la función es normalizable y de clase

L^{2}

$L^2$ ?

De lo contrario, no entiendo cómo la condición límite por sí sola hace que la función de onda sea normalizable.

Otra cosa que encuentro mucho en mi libro sobre este tema son oraciones como:

las funciones propias de $H$ para una partícula libre se mantienen finitos en el infinito,

y nunca habla del comportamiento de la función de onda dentro del dominio sino siempre en el infinito. ¿Quizás esto también se deba a que solo considera funciones de onda continuas?

salmón

@Qmechanic Es un libro QM italiano, pero si quieres te puedo dar el nombre o puedo escribir el párrafo completo

qmecanico

Sí. Las referencias deben reconocerse independientemente del idioma.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/309795/2451

nanohombre

¿Por qué sugiere que la continuidad y la aproximación a cero en el infinito "implican automáticamente que la función es normalizable y de clase

L^{2}

$L^2$ "? Una función de onda

ψ \propto 1 / \ln (2 + x^{2} / a^{2})

$\psi \propto 1/\ln(2 + x^2/a^2)$ , por ejemplo, es continua y tiende a cero en el infinito pero no es normalizable.

onda cuántica

Solo un pequeño comentario tangencial para agregar a lo que otros han dicho aquí. La función de onda sí necesita ser continua. De lo contrario, los valores esperados del (1) impulso y (2) la energía cinética no estarían definidos en la discontinuidad. Se permite que la derivada de la función de onda sea discontinua solo en los puntos donde la energía potencial diverge, pero la función de onda en sí siempre debe ser continua.

salmón

@quantumwave ¿por qué solo el valor esperado del impulso y la energía cinética no estaría definido en la discontinuidad y no todos los demás valores esperados también?

Respuestas (3)

Funciones de onda normalizables para estados ligados

@Qmechanic Es un libro QM italiano, pero si quieres te puedo dar el nombre o puedo escribir el párrafo completo
Sí. Las referencias deben reconocerse independientemente del idioma.
¿Por qué sugiere que la continuidad y la aproximación a cero en el infinito "implican automáticamente que la función es normalizable y de clase $L^2$ "? Una función de onda $\psi \propto 1/\ln(2 + x^2/a^2)$ , por ejemplo, es continua y tiende a cero en el infinito pero no es normalizable.
Solo un pequeño comentario tangencial para agregar a lo que otros han dicho aquí. La función de onda sí necesita ser continua. De lo contrario, los valores esperados del (1) impulso y (2) la energía cinética no estarían definidos en la discontinuidad. Se permite que la derivada de la función de onda sea discontinua solo en los puntos donde la energía potencial diverge, pero la función de onda en sí siempre debe ser continua.
@quantumwave ¿por qué solo el valor esperado del impulso y la energía cinética no estaría definido en la discontinuidad y no todos los demás valores esperados también?

inseguro · Answer 1

El libro probablemente quiere decir que esta condición es necesaria, no suficiente. Por lo tanto, es posible que no sea suficiente hacer que la función de onda sea normalizable (como descubrió), pero si la función de onda es normalizable, esta condición tiene que ser verdadera y puede usarse para establecer términos de contorno en cero en cálculos específicos.

De hecho, esta condición ni siquiera es necesaria. Hay funciones que son perfectamente suaves y normalizables, pero no tienen este límite. Uno podría, por ejemplo, imaginar una función real positiva que en cada número natural $n$ tiene algún pico de altura uno, pero el ancho está limitado por $2^{-n}$ entonces la integral (del módulo cuadrado) no diverge porque está acotada superiormente por la serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}$ .

Pero tales ejemplos patológicos generalmente no ocurrirán para los problemas en los que uno está trabajando en la mecánica cuántica introductoria, por lo que no es irrazonable suponer que la condición para el límite como $x\to\infty$ es necesario que la función de onda esté normalizada, al menos mientras no quieras ser matemáticamente muy riguroso. Si el rigor es tu objetivo, puedes echar un vistazo a estas conferencias.sobre mecánica cuántica donde la mayor parte del tema se presenta de una manera muy formal y matemática. Es probable que no responda a esta pregunta específica (pero espero que mi respuesta sea satisfactoria), pero podría brindarle una "introducción" matemáticamente rigurosa al tema. No te preocupes, están en inglés aunque la web está en alemán. Las conferencias pueden ser un poco avanzadas para ti si recién estás comenzando, por lo que tal vez deberías primero trabajar en tu libro y sentirte cómodo con el tema de una manera heurística antes de revisarlo de una manera más rigurosa. Por supuesto, existen diferentes opiniones y, al final del día, es su decisión cómo desea continuar con el aprendizaje.

Espero que haya ayudado.

Sí, ayudó gracias. Realmente no estoy interesado en ser matemáticamente riguroso, simplemente no puedo entender esas condiciones, probablemente en la secuela el libro solo está interesado en las condiciones hasta el infinito, es por eso que escribió esa oración.

qmecanico · Answer 2

Cuando se habla de estados ligados , se asume implícitamente que estamos considerando el TISE .
En esta respuesta, discutimos solo el caso 1D
$- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} ψ^{''} (X) + V (X) ψ (X) = mi ψ (X)$ $-\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\prime\prime}(x) + V(x) \psi(x) ~=~ E \psi(x)$ por simplicidad.
Uno puede usar un argumento de arranque matemático para probar que la solución $\psi$ pertenece a algunos $C^p(\mathbb{R})$ -clase, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .
La condición
$\begin{matrix} (*) & \underset{| X | \to \infty}{límite} ψ (X) = 0. \end{matrix}$ $\lim_{|x|\to\infty}\psi(x)~=~0. \tag{*}$ no es suficiente para asegurar que una solución, si eso es lo que OP está preguntando.

Contraejemplo esbozado: Deja que la energía $E=0$ y el potencial sea de la forma
$V (X) = {\begin{array}{lcr} \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{3}{4 X^{2}} & F o r & | X | \geq 1, \\ V_{0} & F o r & | X | < 1. \end{array}$ $V(x)~=~\left\{\begin{array}{lcr}\frac{\hbar^2}{2m} \frac{3}{4x^2}&{\rm for}& |x|\geq 1,\cr V_0 &{\rm for}& |x|< 1.\end{array}\right.$ Construya una solución de la forma $ψ (X) = {\begin{array}{lcr} \frac{1}{\sqrt{| X |}} & F o r & | X | \geq 1, \\ A porque k X & F o r & | X | < 1, \end{array}$ $\psi(x)~=~\left\{\begin{array}{lcr} \frac{1}{\sqrt{|x|}}&{\rm for}& |x|\geq 1,\cr A \cos k x &{\rm for}& |x|< 1,\end{array}\right.$ ajustando las constantes $V_0$ , $A$ & $k$ adecuadamente. Esta solución satisface la condición de frontera (*) pero no es normalizable.
Para el resto de esta respuesta, enumeramos un caso en el que la condición de contorno (*) en realidad implica que $\psi$ es normalizable.
- Caso $\exists k,K>0\forall |x|\geq K:~~ {\rm Re}\left[\frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E)\right] ~\geq~ k^2.$ En este caso se puede demostrar que la solución $\psi\in {\cal L}^2$ si se cumple la condición de contorno (*), cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

onda cuántica · Answer 3

onda cuántica

Solo un pequeño comentario tangencial para agregar a lo que otros han dicho aquí. La función de onda sí necesita ser continua. De lo contrario, los valores esperados que implican derivadas de la función de onda, como el impulso y la energía cinética, no estarían definidos en la discontinuidad. Se permite que la derivada de la función de onda sea discontinua solo en los puntos donde la energía potencial diverge, pero la función de onda en sí siempre debe ser continua.

salmón

¿Por qué solo el valor esperado del momento y la energía cinética estarían indefinidos en la discontinuidad y no todos los demás valores esperados también?

onda cuántica

También hay otras, pero esas son las más obvias porque involucran derivadas de la función de onda, que no estaría definida si la función de onda fuera discontinua.

salmón

Leí aquí en el foro que la función de onda en general no tiene que ser continua en todas partes porque al ser una densidad de probabilidad, siempre consideramos un intervalo y no un punto específico, por lo que la probabilidad está definida en todas partes.

onda cuántica

Hay restricciones adicionales en la función de onda además de ser normalizable. Los observables físicos no deben tener valores esperados divergentes o indefinidos. Imagine una discontinuidad en

ψ (x)

$\psi(x)$ en

x = x_{0}

$x=x_0$ . Entonces

⟨ \hat{p} ⟩ = \int ψ^{*} (x) (- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}) ψ (x)

$\langle \hat{p}\rangle = \int{\psi^*(x) (-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}) \psi(x)}$ será indefinido porque el integrando en sí mismo no está definido en

x = x_{0}

$x=x_0$ . Además, ¿cómo lidiarías con

\hat{p^{2}}

$\hat{p^2}$ ?

salmón

¿No es posible integrar una función con un número finito de discontinuidades? ¿Por qué la integral sería indefinida? Por ejemplo, la función

ψ (x) = \sqrt{e^{- x^{2}} | x |^{- 1 / 2}}

$\psi(x)=\sqrt{e^{-x^2}|x|^{-1/2}}$ tiene una discontinuidad para

x = 0

$x=0$ pero la integral sobre todo el dominio está definida.

onda cuántica

¿Cuál es la derivada de una función discontinua?

salmón

no existe, así que estás hablando de la

\frac{\partial}{\partial x} ψ (x)

$\frac{\partial }{\partial x}\psi(x)$ . Pero si

ψ (x)

$\psi(x)$ tiene una discontinuidad en

x = x_{0}

$x=x_0$ ,

ψ^{'} (x_{0})

$\psi'(x_0)$ no existe, por lo que la integral será indefinida?

onda cuántica

Exactamente. llevaría a

⟨ \hat{p} ⟩

$\langle\hat{p}\rangle$ ,

⟨ {\hat{p}}^{2} / 2 m ⟩

$\langle \hat{p}^2/2m \rangle$ y por lo tanto

⟨ \hat{H} ⟩

$\langle\hat{H}\rangle$ siendo indefinido, y todo sería no físico.

onda cuántica

Es interesante notar que se permite que la derivada de la función de onda sea discontinua solo en lugares donde la energía potencial se va al infinito.

salmón

@quantumwave Gracias. En este último caso, ¿qué sucede con

⟨ \hat{p} ⟩

$\langle \hat{p} \rangle$ en el punto donde el potencial se va al infinito? ¿Será indefinido?

onda cuántica

En el caso de una función delta, hay un "golpe" de momento finito en la ubicación de la función delta. En el caso de una pared infinitamente alta, existe una condición de contorno de que la función de onda debe desaparecer allí de todos modos, de modo que ese punto no contribuya a

⟨ \hat{p} ⟩

$\langle \hat{p} \rangle$ porque

ψ^{*} (x) \to 0

$\psi^*(x)\rightarrow 0$ allá. ¡Piensa bien en lo que pasa con el cuadrado infinito!

salmón

en el cuadrado infinito bien el

ψ

$\psi$ es

0

$0$ en el punto donde la energía potencial tiende al infinito, eso significa que la partícula no existe en ese punto y fuera del cuadrado infinito, así que la única "contribución" a

⟨ \hat{p} ⟩

$\langle \hat{p} \rangle$ es de la

ψ (x)

$\psi(x)$ dentro del pozo y no me importa la discontinuidad de

ψ^{'} (x)

$\psi'(x)$ . ¿Bien?

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