Soluciones a la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares 2D cuando el potencial es cero

Para la ecuación de Schrödinger, en coordenadas polares ( r , θ ) , cuando el potencial en el hamiltoniano es 0 (partícula libre), creo que una solución es r − 1 mi − i ( k r − ω t ) . Esta onda radial está centrada en el origen de coordenadas.

¿Puede otra solución, para el hamiltoniano descrito anteriormente, ser también una función de onda radial (con amplitud, en cualquier punto, que es nuevamente la inversa de la distancia desde el centro de la onda), pero no centrada en el origen de coordenadas?

¿Has intentado sustituir en la ecuación de Schroedinger y comprobar si funciona?
Puede comenzar con las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon. Estas involucran funciones de Bessel esféricas.
La función de onda, descrita en el primer párrafo de la pregunta, es una función propia del hamiltoniano descrito en ese párrafo. Creo que si consideramos que el segundo párrafo de la pregunta describe a los operadores de traducción que actúan sobre esa función de onda, entonces, dado que los operadores de traducción conmutan con este hamiltoniano con potencial 0, entonces la función de onda traducida aún debería funcionar y seguir siendo una función propia del hamiltoniano.
No ha especificado las condiciones de contorno. Sin ellos, hay soluciones como por ejemplo pecado ⁡ ( r porque ⁡ θ ) que no están centrados en r = 0 . De hecho, sin los BC incluso Exp ⁡ ( r porque ⁡ θ ) es una solución de la ecuación de Schrödinger.
@Ruslan En realidad estaba pensando en el experimento cuántico de doble rendija y la forma matemática de cómo la suma de las dos ondas radiales, de las dos rendijas, resuelve la ecuación de Schrödinger. Cada uno debe tener el mismo operador de evolución temporal que es simplemente exp^{iwt}. Entonces, cada uno también debe ser una función propia del hamiltoniano. La pantalla de rendija crea los BC en los que las ondas son cada una radiales, con un punto central en la rendija.

Respuestas (1)

Las soluciones radiales son funciones de Bessel y la parte angular son ondas. Empiezas con el hamiltoniano libre en coordenadas polares,

H ψ ( r , φ ) = − ( ∂ 2 ∂ r 2 + 1 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ φ 2 ) ψ ( r , φ ) = mi ψ ( r , φ ) .
Como suele ocurrir con este tipo de ecuaciones diferenciales, podemos hacer el Ansatz
ϕ ( r , φ ) = R ( r ) Φ ( φ ) .
Insertando esto en la ecuación diferencial y dividiendo por R ( r ) Φ ( φ ) rendimientos
− r 2 R d 2 R d r 2 − r R d R d r − mi r 2 = 1 Φ d 2 Φ d φ .
El lado izquierdo depende sólo de r , mientras que el lado derecho solo depende de φ , por lo que ambos lados deben ser constantes. Llamamos a la constante − A 2 . Entonces la ecuación diferencial angular dice,
d 2 Φ d φ 2 + A 2 Φ = 0
que se resuelve fácilmente con
Φ ( φ ) = C 1 mi i A φ + C 2 mi − i A φ .
Desde Φ ( 0 ) = Φ ( 2 π ) , concluimos que A ∈ norte . Entonces la parte radial viene dada por
r 2 d 2 R d r 2 + r d R d r + ( mi r 2 − A 2 ) R = 0.
Después de sustituir r ~ = mi r , esto se convierte en la ecuación diferencial de Bessel y las soluciones son las funciones de Bessel.

Entonces, para responder a su pregunta, sí, hay más soluciones dadas por las funciones de Bessel moduladas por funciones trigonométricas. Como de costumbre, puede representar cualquier función suave mediante una suma de funciones propias adecuadas. Pero supongo que tu pregunta es si también podemos encontrar funciones propias que estén desplazadas del origen. Y ahí la respuesta es no ya que esto rompería la simetría del problema.

Gracias por tu respuesta detallada. Mi motivación es el experimento cuántico de doble rendija, donde una onda plana, con frecuencia w, viaja en una dirección ortogonal a la pantalla de la rendija e incide en esa pantalla. Luego, de cada punto de la rendija emerge una onda radial de la forma (1/r)exp{-i(kr-wt), donde r se mide desde el punto de la rendija del que emerge la onda. La función de onda es la suma de esas dos ondas. Si ambos se expresan en términos del mismo sistema de coordenadas polares, entonces la función de onda no satisfará la ecuación de Schrödinger, creo que en ese sistema de coordenadas. Eso me está confundiendo.
Veo. Creo que la salida es que el hamiltoniano no es en realidad el hamiltoniano libre, sino que tiene que contener las rendijas. Por lo tanto, la solución es exactamente lo que ya tienes, una superposición de dos ondas esféricas desplazadas por el ancho de las rendijas.
Sí, estaba pensando en las rendijas como condiciones límite, pero creo que tienes razón.
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