¿Cómo determinar la función de onda para una partícula libre en una función potencial compleja?

El potencial de una partícula libre en un campo potencial está dado por

$$\begin{equation} V(x) = V_0\theta(x) - w\delta(x) \end{equation}$$ en el cual$\theta(x)$es la función escalón unitario,$\delta(x)$es la función delta de Dirac, y$V_0$y$w$son constantes estrictamente positivas. Una partícula de masa$m$evoluciona en tal potencial.

¿Cómo determino la función de onda en todas las partes en posición?

Sea la función de onda representada por$\psi(x,t)$, La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo está dada por,

$$\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{\delta ^2\psi }{\delta x^2} + V \psi = E \psi$$ La función potencial podría escribirse como, $$V(x) \begin{cases} 0 & x<0 \\ -\infty & x= 0 \\ V_0 & x>0 \end{cases}$$ La función de onda debe ser continua y diferencial en el$x=0$. Esto nos proporciona las condiciones de contorno,

Entonces resolviendo la ecuación general para la función de onda obtenemos

$$\psi(x) \begin{cases} 0 & x<0 \\ -\infty & x= 0 \\ V_0 & x>0 \end{cases}$$ La solución general para una energía fija potencial fijo ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula libre está dada por,

$$\psi(x) \begin{cases} A_1 e^{ik_1x} + B_1 e^{-ik_1x} & x<0 & k _1=\sqrt{2m \frac{-E}{\hbar^2}}\\ C & x= 0 \\ A_3 e^{ik_3x} + B_3 e^{-ik_3x}& x>0 & k_3 =\sqrt{2m \frac{V_0-E}{\hbar^2}}\\ \end{cases}$$ Al comprobar las condiciones de contorno obtenemos, (asumiendo que E no es cero) $$\begin{align} A_1 + B_1 = A_3 + B_3 = C \\ A_1 k_1 - B_1 k _1 = A_3k _3 - B_3 k_3 \end{align}$$ Para la normalización y la restricción de probabilidad, necesitamos que lo siguiente sea cierto,

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx &= 1 \\ \int_{-\infty}^0 |\psi(x)|^2 dx +\int_{0}^\infty |\psi(x)|^2 dx = 1 \\ \end{align}$$