Ecuación de Schrödinger 2D en coordenadas polares: condiciones de contorno en el origen

Para mantener la energía cinética$\langle K\rangle =\frac{\hbar^2}{2m} \int d^2x~ |\nabla \psi|^2$finito, un logarítmico$\ln(r)$singularidad de la función de onda radial$\psi(r)$en$r=0$es inaceptable. Esta conclusión se mantiene incluso si tomamos la energía potencial$\langle V \rangle$en cuenta:

1. Un potencial no negativo$V\geq 0$sólo hará la energía total$E= \langle K \rangle + \langle V \rangle$más grande.

2. Un potencial$V$con una singularidad de ley de potencia$V(r) \sim r^p$,$p>-2$, en$r=0$sólo tendría una contribución finita.

3. Un potencial negativo$V<0$con una singularidad de ley de potencia$V(r) \sim r^p$,$p\leq -2$, en$r=0$conduciría a un espectro para el hamiltoniano$H=K+V$que es ilimitado desde abajo.

Los principios generales para imponer condiciones de contorno de la función de onda.$\psi$en$r=0$en varias dimensiones también se describen, por ejemplo, en esta publicación Phys.SE relacionada y los enlaces en ella.

Generalmente, la solución debe resolver la ecuación de Schrödinger en cada punto del espacio de configuración. Esto en particular significa que debe tomar la solución singular como una distribución . Las funciones de Neumann no resuelven la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares en cada punto: solo la resolverían si tuviera un término adicional (fuente) proporcional al delta de Dirac con su singularidad en el origen. Vea mi respuesta a una pregunta relacionada para una discusión más extensa.