Continuidad y suavidad de la función de onda

Aquí queremos dar un argumento de arranque matemático fácil de por qué las soluciones a la ecuación de Schrödinger 1D independiente del tiempo (TISE) tienden a ser bastante agradables. Primero reescribe formalmente la forma diferencial

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\prime\prime}(x) + V(x) \psi(x) ~=~ E \psi(x) \tag{1}$$

en la forma integral

$$\psi(x)~=~ \frac{2m}{\hbar^2} \int^{x}\mathrm{d}y \int^{y}\mathrm{d}z\ (V(z)-E)\psi(z) .\tag{2}$$

En esta respuesta, supondremos que la forma integral (2) [en lugar de la forma diferencial escrita a menudo (1)] es el punto de partida.

Hay varios casos.

1. Caso$V \in {\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$es una función integrable localmente al cuadrado . Supongamos la función de onda$\psi \in {\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$también. Entonces el producto$(V-E)\psi\in {\cal L}^1_{\rm loc}(\mathbb{R})$debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Entonces la integral$y\mapsto \int^{y}\mathrm{d}z\ (V(z)-E)\psi(z)$es continua , y por lo tanto la función de onda$\psi$en la izquierda. de la ec. (2) es suave$\psi\in C^{1}(\mathbb{R}).$

2. Caso$V \in C^{p}(\mathbb{R})$para un entero no negativo$p\in\mathbb{N}_0$. Un argumento de arranque similar muestra que$\psi\in C^{p+2}(\mathbb{R}).$

Los dos casos anteriores no cubren un par de potenciales matemáticamente idealizados de uso frecuente$V(x)$, p.ej,

1. el muro infinito$V(x)=\infty$en alguna región. (La función de onda debe desaparecer$\psi(x)=0$en esta región.)

2. o una distribución delta de Dirac $V(x)=V_0\delta(x)$. Ver también aquí .

Algo de esto fue discutido en otra parte. Ver «importancia de los operadores ilimitados» https://physics.stackexchange.com/a/19569/6432 .

No es cierto que la función de onda tenga que ser continua, solo tiene que ser medible (es decir, un límite de funciones escalonadas en casi todas partes). Naturalmente, podría preguntarse qué sentido tiene la ecuación de Schroedinger si la aplica a una función escalonada... pero la respuesta es más fácil que preocuparse por las soluciones distributivas débiles. El punto es que puedes resolver la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo con la exponencial

$$e^{itH},$$ que es una familia de operadores unitarios, y que se comporta mejor que la $H$tienes que usar en la ecuación de Schroedinger. El $H$tienes que usar, por ejemplo $$-{\partial ^2\over\partial x^2} + \mathrm{other\ stuff},$$ es ilimitado. Y las funciones no diferenciables no están en su dominio. Pero conectarlo a la serie de potencias para exponencial converge en norma de todos modos, por lo que el operador resultante, siendo acotado e incluso unitario en un dominio denso del espacio de Hilbert, puede extenderse sin problemas a todo el espacio, incluso funciones escalonadas. Entonces tiene más sentido decir que la solución a la ecuación de Schroedinger con una condición inicial dada $\psi_o$es $$\psi_t (x) = e^{itH}\cdot \psi_o (x)$$ y no hay necesidad de traer soluciones distributivas débiles. Estas consideraciones se conocen como el teorema de Stone-von Neumann.

Pero tales funciones no son muy importantes y, de hecho, es posible hacer toda la Mecánica Cuántica con funciones suaves, especialmente si toma la actitud de que, por ejemplo, un pozo de potencial cuadrado tampoco sería físico y en realidad es solo una aproximación simplificada de un potencial físico que suavizaba esas esquinas cuadradas pero tenía una fórmula que era inmanejable... Véase Anthony Sudbery, Quantum Mechanics and the Particles of Nature , que, dado que está escrito por un matemático, tiene cuidado con cuestiones sin importancia como esta.

Esa familia de operadores que anoté se llama operadores de evolución temporal y son un ejemplo de un grupo unitario con un parámetro, el tiempo. Es fácil ver que si$\psi_o$, la condición inicial, el estado del sistema cuántico en el tiempo$t=0$, es agradable y suave, entonces todos los estados futuros también serán agradables y suaves. Además, todos los observables cuánticos habituales tienen estados propios agradables y suaves, por lo que si realiza una medición futura, obtendrá una función agradable y suave y su evolución futura en el tiempo permanecerá así, hasta la siguiente medición, etc. hasta el día del juicio final.

Dicho esto, a todos los efectos prácticos, puede suponer que todas las funciones de onda son suaves y que la única razón por la que estudia las discontinuas es como aproximaciones convenientes.

El comentario que uno oye a veces es que una función de onda que no estuviera en el dominio del hamiltoniano «tendría energía infinita», pero esto no tiene sentido. En Mecánica Cuántica, no se permite hablar de un sistema cuántico como si tuviera un valor definido de un observable a menos que esté en un estado propio de ese observable. Lo que se puede preguntar es cuál sería la expectativa de ese observable. Si la función de onda$\psi$es discontinuo y no está en el dominio del hamiltoniano, no puede ser un estado propio, pero si se mide su energía, la respuesta siempre será finita. Sin embargo, la expectativa de su energía no existe, o se podría decir, la expectativa “es infinita”. No la energía, su expectativa. No hay nada muy poco físico en esto porque la expectativa en sí misma no es muy directamente física: no puedes medir la expectativa a menos que hagas un número infinito de mediciones, y tu respuesta estimada, incluso para esta función discontinua, siempre será una expectativa finita. Es solo que esas estimaciones son muy inexactas, la expectativa realmente es infinita (como la distribución de Cauchy en las estadísticas).

Pero incluso para una función de onda tan «mala», se aplican todos los axiomas de la Mecánica Cuántica: la probabilidad de que la energía, si se mide, sea de 7 erg, se calcula de la forma habitual. Pero estas malas funciones de onda nunca surgen en los sistemas o ejercicios elementales, por lo que la mayoría de la gente piensa que son «no físicas». Y, como dije, si la condición inicial es una función de onda «buena», el sistema nunca evolucionará fuera de eso. Esto, creo, está relacionado con el hecho de que en QM, todos los sistemas tienen un número finito de grados de libertad: esto ya no sería cierto para los sistemas cuánticos con infinitos grados de libertad, como los que se estudian en Mecánica Estadística.

La ecuación de Schroedinger independiente del tiempo para la función de onda del espacio de posición tiene la forma

$$\left(\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 +(V-E) \right)\Psi=0$$

Dónde$E$es la energía de ese estado propio particular, y$V$en general depende del puesto. Todas las funciones de onda físicas deben estar en alguna superposición de estados que satisfagan esta ecuación.

Al menos en QM no relativista, no se permite que la función de onda tenga energía infinita. Si la segunda derivada de la función de onda no existe o es infinita, implica que o bien$V$tiene alguna propiedad que "cancela" la discontinuidad (como en el pozo cuadrado infinito), o que la función de onda es continua y diferenciable en todas partes.

Generalmente,$\Psi$debe ser siempre continua, y cualquier derivada espacial de$\Psi$debe existir a menos que$V$es infinito en ese punto.

La solución de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno en estado fundamental (bajo núcleos puntuales, posición fija de los núcleos) incluye, como se cita en este enlace ,

$$r^{\gamma-1},$$ dónde $$\gamma = \sqrt{k^2 - Z^2 \alpha^2 } = \sqrt{ 1 - 1/137^2} < 1,$$ por lo tanto, diverge en el origen. Es decir, no continuo (no pertenecer a$C^0$, por lo tanto no puede ser$C^2$), pero aún dentro$L^2$espacio.