Función ββ\beta en campo escalar masivo libre

Question

Función ββ\beta en campo escalar masivo libre

Física
teoría de campo
renormalización
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme

Pxx

Es bien sabido que las QFT que interactúan con simetría conforme preservada a nivel cuántico tienen un efecto de fuga $\beta$ -función. Otra declaración común es que los términos de masa rompen la invariancia conforme.

El campo escalar sin masa libre es conforme, y agregar un término de masa rompe la invariancia conforme. Aunque todavía se le llama comúnmente "gratis", creo que podría ver el término masivo $m^2 \phi \phi$ como un término de interacción entre dos campos escalares. Después de todo, ¿cuál es la diferencia entre $m^2 \phi^2$ y $\lambda \phi^4$ , además del número de campos que se acoplan en el vértice?

Entonces, ¿hay algún tipo de $\beta$ -funcion relacionada con la masa? Si es así, ¿cómo se vería? ¿O la declaración anterior solo tiene sentido cuando hay una constante de acoplamiento para $n \geq 3$ campos por alguna razón?

Oбжоров

Sí, puede tratar el término de masa como una interacción. No he hecho el cálculo, pero estoy bastante seguro de que el

β

$\beta$ función sería proporcional a la masa (al cuadrado).

Pxx

@Oбжорoв ¡Gracias! Yo haría el cálculo, pero no estoy seguro de por dónde empezar. La función masiva libre de dos puntos se conoce exactamente y es una función de Bessel en el espacio de posiciones. ¿Puedo leer exactamente

β

$\beta$ -función fuera de esa expresión de alguna manera?

Pxx

Quiero decir, está claro que la corrección de primer orden a un campo escalar sin masa libre es

- m^{2} / p^{4}

$-m^2/p^4$ , que se puede obtener fácilmente expandiendo el propagador exacto

1 / (p^{2} + m^{2})

$1/(p^2+m^2)$ (Estoy en el espacio euclidiano) o escribiendo el diagrama (bastante trivial). Pero, ¿cómo hay una dependencia de la escala?

Pxx

@ChiralAnomaly ¿Qué parte exactamente? (el enlace me lleva a la pregunta real por cierto, pero encontré la publicación a la que te referías)

anomalía quiral

@Jxx Wow, perdón por el enlace incorrecto en mi primer comentario. Supongo que lo averiguaste, pero aquí está el enlace correcto para tu comodidad: physics.stackexchange.com/q/303611 . Me refería a esta oración en la respuesta de AccidentalFourierTransform: "no estamos considerando parámetros en el caparazón (por ejemplo, masas polares), ya que estos se definen en una escala de energía particular (fija) ". Puede que no responda completamente a lo que está preguntando, pero pensé que podría ser una perspectiva útil.

Pxx

@ChiralAnomaly Ya veo. Sí

m^{2}

$m^2$ ¿Hay aquí una masa polar, por lo que no funciona, supongo? Pero entonces, ¿hay algo que funcione en esta teoría? Y si no, ¿por qué no es conforme? (Sé que no es conforme, la pregunta se hace desde el punto de vista del

β

$\beta$ -función)

anomalía quiral

@Jxx Hay al menos dos versiones diferentes (estrechamente relacionadas) del grupo de renormalización. Uno está diseñado para la física experimental de partículas: el modelo es fijo, pero elegimos parametrizarlo en términos de cantidades que se definen en cualquier escala de energía que nos interese. De ahí venía la respuesta de AFT.

anomalía quiral

@Jxx Otra versión está diseñada para la física teórica: el modelo no es fijo, sino que preguntamos qué cambio en sus parámetros produce el mismo efecto que una dilatación espacial general (de toda la teoría cuántica, no solo del lagrangiano). En esta versión, la misa sí corre. La masa está inversamente relacionada con la longitud de la correlación y una dilatación espacial general cambia la longitud de la correlación. En el límite de la dilatación extrema, estiramos la longitud de correlación hasta el infinito: la masa llega a cero y llegamos a un punto fijo invariable en la escala.

Pxx

@ChiralAnomaly Muchas gracias por su comentario, siento que solo tengo una vaga comprensión de lo que está diciendo. Traté de reproducir el análisis de libro de texto de la

β

$\beta$ -función al considerar

m^{2}

$m^2$ como una constante de acoplamiento, pero fallé ya que sin infinitos y contratérminos se ve bastante diferente. Sin embargo, debería ser fácil obtener una expresión concreta ...

Respuestas (1)

Función ββ\beta en campo escalar masivo libre

Sí, puede tratar el término de masa como una interacción. No he hecho el cálculo, pero estoy bastante seguro de que el $\beta$ función sería proporcional a la masa (al cuadrado).
@Oбжорoв ¡Gracias! Yo haría el cálculo, pero no estoy seguro de por dónde empezar. La función masiva libre de dos puntos se conoce exactamente y es una función de Bessel en el espacio de posiciones. ¿Puedo leer exactamente $\beta$ -función fuera de esa expresión de alguna manera?
Quiero decir, está claro que la corrección de primer orden a un campo escalar sin masa libre es $-m^2/p^4$ , que se puede obtener fácilmente expandiendo el propagador exacto $1/(p^2+m^2)$ (Estoy en el espacio euclidiano) o escribiendo el diagrama (bastante trivial). Pero, ¿cómo hay una dependencia de la escala?
@ChiralAnomaly ¿Qué parte exactamente? (el enlace me lleva a la pregunta real por cierto, pero encontré la publicación a la que te referías)
@Jxx Wow, perdón por el enlace incorrecto en mi primer comentario. Supongo que lo averiguaste, pero aquí está el enlace correcto para tu comodidad: physics.stackexchange.com/q/303611 . Me refería a esta oración en la respuesta de AccidentalFourierTransform: "no estamos considerando parámetros en el caparazón (por ejemplo, masas polares), ya que estos se definen en una escala de energía particular (fija) ". Puede que no responda completamente a lo que está preguntando, pero pensé que podría ser una perspectiva útil.
@ChiralAnomaly Ya veo. Sí $m^2$ ¿Hay aquí una masa polar, por lo que no funciona, supongo? Pero entonces, ¿hay algo que funcione en esta teoría? Y si no, ¿por qué no es conforme? (Sé que no es conforme, la pregunta se hace desde el punto de vista del $\beta$ -función)
@Jxx Hay al menos dos versiones diferentes (estrechamente relacionadas) del grupo de renormalización. Uno está diseñado para la física experimental de partículas: el modelo es fijo, pero elegimos parametrizarlo en términos de cantidades que se definen en cualquier escala de energía que nos interese. De ahí venía la respuesta de AFT.
@Jxx Otra versión está diseñada para la física teórica: el modelo no es fijo, sino que preguntamos qué cambio en sus parámetros produce el mismo efecto que una dilatación espacial general (de toda la teoría cuántica, no solo del lagrangiano). En esta versión, la misa sí corre. La masa está inversamente relacionada con la longitud de la correlación y una dilatación espacial general cambia la longitud de la correlación. En el límite de la dilatación extrema, estiramos la longitud de correlación hasta el infinito: la masa llega a cero y llegamos a un punto fijo invariable en la escala.
@ChiralAnomaly Muchas gracias por su comentario, siento que solo tengo una vaga comprensión de lo que está diciendo. Traté de reproducir el análisis de libro de texto de la $\beta$ -función al considerar $m^2$ como una constante de acoplamiento, pero fallé ya que sin infinitos y contratérminos se ve bastante diferente. Sin embargo, debería ser fácil obtener una expresión concreta ...

Pxx · Answer 1

La respuesta concreta está en esta publicación: ¿ función beta distinta de cero en el nivel clásico?

En resumen, el $\beta$ -función para la masa es simplemente:

\begin{matrix} (1) & β ({metro}^{2}) = - 2 {metro}^{2} . \end{matrix}

$\beta(m^2) = -2 m^2. \tag{1}$

Estoy seguro de que hay muchas maneras de ver eso, por ejemplo, la que se describe en la publicación. Aquí hay otra forma (trivial) de verificarlo. La ecuación del grupo de renormalización dice:

\begin{matrix} (2) & {pag \frac{\partial}{\partial pag} - β ({metro}^{2}) \frac{\partial}{\partial {metro}^{2}} + 2 - 2 γ_{metro}} {GRAMO}^{(2)} (pag; {metro}^{2}) = 0, \end{matrix}

$\left\lbrace p \frac{\partial}{\partial p} - \beta(m^2) \frac{\partial}{\partial m^2} + 2 - 2 \gamma_m \right\rbrace G^{(2)} (p;m^2) = 0\,, \tag{2}$

dónde $g^{(2)} (p;m^2)$ es el propagador exacto, es decir (en el espacio euclidiano):

\begin{matrix} (3) & {GRAMO}^{(2)} (pag; {metro}^{2}) = \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} . \end{matrix}

$G^{(2)}(p;m^2) = \frac{1}{p^2 + m^2}\,. \tag{3}$

En una teoría libre la masa no tiene una dimensión anómala, por lo que $\gamma_m = 0$ . El RGE ahora se puede resolver para $\beta(m^2)$ , y obtenemos el resultado mencionado anteriormente.

Por lo general, en la ecuación de Callan-Symanzik tenemos un término $\mu\frac{\partial}{\partial\mu}$ . ¿Por qué se reemplaza este término por $p\frac{\partial}{\partial p}$ ? Además, ¿dónde está el $2$ ¿viene de?

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