¿Cuáles son los detalles de la renormalización de la teoría de Chern-Simons?

De nLab: renormalización: de teorías en forma BV-CS :

En ( Costello 07 ) se da un procedimiento de renormalización comparativamente simple que se aplica a teorías que están dadas por funcionales de acción que se pueden dar en la forma

dónde

• los campos ϕ son secciones de un paquete de campos graduados E en el que Q es un diferencial, ⟨−,−⟩ un emparejamiento antibracket compatible tal que (E,Q,⟨⟩) es una teoría de campo libre (como se discute allí) en BV- formalismo BRST;

• I es una interacción que es al menos cúbica.

Estos son funcionales de acción que están bien adaptados al formalismo BV-BRST y para los cuales existe una cuantización a un álgebra de factorización de observables.

La mayoría de las teorías fundamentales de la física tienen esta forma, en particular la teoría de Yang-Mills. En particular, también todas las teorías del tipo infinito-teoría de Chern-Simons que provienen de polinomios binarios invariantes son perturbativamente de esta forma, en particular la teoría ordinaria de Chern-Simons.

Para una discusión del caso especial simple de la teoría 3d de Chern-Simons, consulte ( Costello 11, capítulos 5.4 y 5.14 ).

Ver

1. La puesta en marcha

2. Operador (calor) núcleos y propagadores

3. El operador del grupo de renormalización

4. La integral de trayectoria

5. Acción renormalizada

6. Renormalización

Creo que Witten calculó la integral de trayectoria de la teoría de Chern-Simons a partir de la teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones.

La constante de acoplamiento$k$toma valores enteros para que la acción clásica esté bien definida para paquetes no triviales. Los cambios de cuantización$k$por algún número entero por razones topológicas. Específicamente, el determinante de Faddeev-Popov depende explícitamente de la métrica, lo que rompe el invariante topológico. Para superar este problema, se agrega un contratérmino, que es proporcional a la acción de Chern-Simons de la gravitación

a la acción cuántica efectiva, de modo que anula la dependencia métrica de la fijación del calibre. Sin embargo, esto introducirá una nueva anomalía cuántica, llamada anomalía de encuadre. Para ser específicos, las variedades orientables tridimensionales conectadas son paralelizables (es decir, sus fibrados tangentes son triviales). Elegir un marco que se desvanece en ninguna parte en la variedad de espacio-tiempo es un marco. Sin embargo, existen distintas clases de homotopía de encuadres. Agregar la acción gravitacional de Chern-Simons anterior introduciría la dependencia de las elecciones de encuadres. Por lo tanto, la integral de trayectoria final de la teoría de Chern-Simons dependerá de los encuadres, si desea preservar la invariancia topológica.

La teoría es topológica, y su acoplamiento todavía está cuantificado, y por lo tanto, no tiene sentido hablar de la$\beta$-función.