¿Por qué exigimos que los contratérminos en la teoría φ3φ3\varphi^3 sean O(g2)O(g2)O(g^2)?

Los factores de renormalización$Z_{i}$se producen mediante diagramas de bucle. Para$Z_{\varphi}$y$Z_{m}$, esto significa diagramas con dos patas externas, ya que estos factores multiplican operadores con dos factores del campo$\varphi$. No es posible escribir un diagrama de bucle (¡o cualquier diagrama!) con dos patas externas con solo un vértice de tres partículas. Dado que cada tres-$\varphi$el vértice está asociado con un factor del acoplamiento$g$, no puede obtener una corrección para el propagador sin tener al menos dos vértices y, por lo tanto, un total$g^{2}$.

El mismo argumento se aplica a$Z_{g}$. Observe que cada vértice de tres puntos que agrega a un diagrama cambia el número de líneas de pares a impares, o viceversa. Así, un diagrama con un factor de$g$tiene un número impar de líneas externas; un diagrama con$g^{2}$tiene un número par; y vuelves a un número impar en el pedido$g^{3}$. Esto realmente asegura que cada$Z_{i}$es una serie de potencias en$g^{2}$, No solo$g$.

Hay un lindo argumento basado en la simetría, al menos en ese momento$Y = 0$se trata como una perturbación. El$g=Y=0$la teoría tiene un$\mathbb{Z}_2$simetría$\phi \to -\phi$. Dejar$X$ser algún observable que no sea cero a nivel de árbol, admitiendo una expansión en serie$X = X(g)$. Entonces$X(g)$debe ser una función par de$g$. QED!

ecuación de OP (1) no es cierto en general. Depende crucialmente de la elección de las condiciones de renormalización.$^{\dagger}$, véanse las ecuaciones. (14.7), (14.8) y (16.14) en la Ref. 1. Por ejemplo, solo el producto$Z_gg$entra en la densidad lagrangiana (9.1), por lo que claramente se necesita algún tipo de condición para arreglar$Z_g$y$g$individualmente. Las elecciones realizadas en la Ref. 1 son posiblemente las opciones más simples.

Por supuesto, el corazón de la$O(g^2)$OP ya adivina el argumento y lo elabora en la respuesta del usuario Buzz.

Referencias:

1. M. Srednicki, QFT, 2007; Capítulos 9 + 14 + 16. Un archivo PDF borrador previo a la publicación está disponible aquí .

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$^{\dagger}$Las 2 condiciones de renormalización en la ec. (9.2) de la Ref. 1. resulta no ser irrelevante para la ec. (1).