¿Función beta distinta de cero a nivel clásico?

En la conferencia 5 de Jaume Gomis sobre CFT en Perimeter Institute, dice (en el minuto 27:40) que la función beta, clásicamente , de la metro 2 parámetro en masivo λ ϕ 4 la teoría es

β ( metro 2 ) = − 2 metro 2 .

El razonamiento intuitivo que da es que dado que la dimensión de metro 2 es 2, entonces la función beta debería ser -2 veces m-cuadrado.

Siempre pensé que las funciones beta para los parámetros del Lagrangiano solo comienzan en un ciclo y son clásicamente cero. ¿Cuál es la definición rigurosa de una función beta (incluida la parte clásica)?

Respuestas (1)

La teoría es (incluso clásicamente) no escala invariante. Solo con el análisis dimensional, puede notar que el campo escalar tiene una dimensión de escala 1, y la masa (como su nombre indica) también debe tener una dimensión de escala 1. Entonces metro 2 tiene una dimensión de escala de 2, lo que sugiere la ecuación RG que ha escrito en la pregunta. Eso esencialmente dice que el metro 2 El parámetro disminuye exponencialmente, pero con una dimensión de escala 2 a medida que avanza a la UV.

Solo cuando tiene acoplamientos que son clásicamente adimensionales, las ecuaciones RG no tienen contribuciones a nivel de árbol. ej: coeficientes de dimensión 4 operadores: like λ en λ ϕ 4 o gramo en gramo ϕ ψ ¯ ψ

FYI: el nivel de árbol es equivalente a la teoría de campo clásica y las contribuciones de bucle son como correcciones cuánticas. Puedes ver que al restaurar los poderes de ℏ en la integral de trayectoria.

¡Gracias! pero ya lo entiendo cualitativamente. Quiero saber la definición formal: ¿por qué el signo menos? cómo conectarlo al parámetro 't Hooft m . Y su relación con la 'dimensión anómala' γ ( metro 2 ) ... ¡Gracias!
Por el parámetro `t Hooft m , ¿te refieres a la escala anómala que obtienes al hacer dim reg? Ese es un fenómeno cuántico (ya que lo obtienes de dim reg en integrales de bucle ). En la teoría clásica, metro 2 no tiene escalado anómalo. Las correcciones cuánticas (bucle) a la dimensión de escala son lo que llamamos anómalo . El signo menos es un poco por definición, porque algo con una dimensión de masa positiva aumenta a medida que fluye hacia el IR y disminuye a medida que fluye hacia el UV. Desde que aumenta Λ corresponde a ir hacia el UV, necesitamos un signo negativo.
Sí m es el parámetro dim-reg. Entonces, ¿si te entiendo bien? ¿Es cierto, en todos los casos, la función beta clásica para un parámetro, X , de masa-dimensión [ X ] es siempre β ( X ) = − [ X ] × X ? ¡Gracias de nuevo! Entonces, ¿cómo escribo todo con correcciones cuánticas (que involucran la parte anómala γ )? Lo es β ( X ) = − [ X ] × X + γ ( X ) ? ¿ Es esa la fórmula correcta exacta ?
Sí, el RGE corregido por bucle se convertirá en (pequeña corrección a lo que escribiste) β ( X ) = − ( [ X ] + γ ( X ) ) X . γ ( X ) se llama la dimensión de escala anómala , ya que es una corrección a [ X ] . Aquí, el RHS muestra solo el orden principal en X ; en general, también podría haber términos de orden superior.
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