¿Existen múltiples formas equivalentes de escribir un estado propio?

Así que mi problema aquí es que estoy confundido acerca de cómo resolver los estados propios correspondientes a ciertos valores propios.

Para mi problema tengo el hamiltoniano

H = mi 0 ( 3 5 i − 5 i 3 )
que da los valores propios mi 1 = 8 mi 0 y mi 2 = − 2 mi 0

Ahora vuelvo a conectar estos valores propios en la ecuación de valores propios del problema ( H − mi norte I ) | mi norte ⟩ = 0 lo que da

(1) a norte ( 3 mi 0 − mi norte ) + b norte ( 5 i mi 0 ) = 0 (2) − a norte ( 5 i mi 0 ) + b norte ( 3 mi 0 − mi norte ) = 0
donde he representado | mi norte ⟩ como | mi norte ⟩ = ( a norte b norte ) . Uso la ecuación (2) y llego a
(3) a norte = − i b norte ( 3 mi 0 − mi norte ) 5 mi 0 a 1 = i b 1
Ahora aquí es donde entra mi confusión. Puedo enchufar a 1 en la condición de normalización
| a 1 | 2 + | b 1 | 2 = 1
como sigue
| i b 1 | 2 + | b 1 | 2 = 1 | b 1 | 2 = 1 2 ⇒ a 1 = i 2
y
| mi 1 ⟩ = 1 2 ( i 1 )
o puedo reorganizar la ecuación (3) como
b 1 = − i a 1
y enchufe b 1 en la condición de normalización para obtener
| a 1 | 2 = 1 2 b 1 = − i 2
lo que da
| mi 1 ⟩ = 1 2 ( 1 − i )

Entonces, ¿son equivalentes estos estados propios o cometí un error en alguna parte? ¿Hay alguna variable en particular ( a 1 o b 1 en este caso) que se supone que debemos sustituir primero en la condición de normalización?

Se diferencian solo por un factor de fase, observe que el segundo es − i veces la primera.
Pero, ¿hay preferencia por elegir uno sobre el otro? La solución de mi profesor a este problema dio la segunda.
@Elvis En general, no hay preferencia, especialmente en un problema como este. Para algunas clases de problemas existen convenciones de fase , pero en esos casos se le indicará cuáles son.
Tenga en cuenta que un ket no es idéntico a un estado : un estado es un rayo en el espacio de Hilbert donde los kets mi i ϕ | ψ ⟩ pertenecen al mismo rayo.

Respuestas (1)

Si | ψ ⟩ es un estado propio de Λ ^ , entonces también lo es α | ψ ⟩ para cualquier complejo α desde

Λ ^ α | ψ ⟩ = α Λ ^ | ψ ⟩ = α λ | ψ ⟩ = λ ( α | ψ ⟩ ) .

La normalización fija el α es ser de la forma mi i φ , pero no puedes hacerlo mejor que esto, es decir, si | ψ ⟩ es un vector propio normalizado, entonces mi i φ | ψ ⟩ es un vector propio normalizado igualmente válido.

Magnitudes físicas como valores medios del tipo ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ no dependas de la mi i φ fase, por lo que la forma en que elige este factor general no es importante.

En su caso, sus dos vectores propios difieren en un factor general de − i , que es precisamente de la forma mi i φ . puedes hacer ejercicio φ por tí mismo.

Para estar seguro, no es eso mi i ϕ | ψ ⟩ es un estado igualmente válido , es que mi i ϕ | ψ ⟩ pertenecen al mismo rayo, es decir, al mismo estado .
@AlfredCentauri Buena observación. Cambié "estado propio" a "vector propio" para acomodar su comentario.
¿Existen múltiples formas equivalentes de escribir un estado propio?
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