¿Por qué las cosas propias son mejores/más útiles que las cosas no propias?

Un vector propio es un vector que no cambia de dirección cuando se aplica una transformación. Entonces, en el caso de, digamos, un estado propio de energía (Hamiltoniano), es un estado que no cambia de 'dirección' (no estoy exactamente seguro de a qué mapear eso). Pero, ¿por qué es eso más especial/importante/útil que cualquiera de los otros estados?

¿Es porque potencialmente puede 'construir' cualquiera de los otros estados con los estados propios, por lo que eso es todo de lo que debe preocuparse?

Es solo que resolver una ecuación de álgebra lineal es realmente fácil una vez que escribes las entradas en términos de vectores propios. ¿Es eso lo que estás preguntando?
Nos enseñaron, en ingeniería marina, que las frecuencias propias del casco limitan la velocidad de la embarcación. Es decir, la velocidad vibratoria máxima del motor debe ser menor que la frecuencia propia más baja del casco. Esto establece la velocidad de flanco; velocidades más altas harán que el casco resuene, lo que provocará una falla catastrófica. ¡Solo en StarTrek se puede ignorar este destino! Los vectores propios son las direcciones de máxima resonancia.

Respuestas (1)

Puedes escribir estados cuánticos como | ψ ⟩ = ∑ k C k | ϕ k ⟩ para cualquier base | ϕ k ⟩ . Sin embargo, si elige una base que no es una base propia del hamiltoniano, los coeficientes cambiarán con el tiempo y sería extremadamente difícil hacer un seguimiento de ellos. Por lo tanto, tal expansión no es muy útil. En resumen: cada base es fundamentalmente tan buena como cualquier otra. Usualmente usamos bases particulares, como la base propia del hamiltoniano porque entonces es más fácil resolver problemas físicos reales.

Es importante comprender que el problema propio no se limita a las cosas cuánticas. También aparece en problemas de oscilación acoplada y rotaciones generales para nombrar otros dos temas que surgen en una educación de pregrado, así como en otros temas que es probable que encuentre solo si profundiza en algún tema muy profundamente. Y en todos los lugares aparece identificar los autovectores (para una comprensión generalizada de "vector") simplifica la solución del problema general.
Me enseñaron que hay tres reglas importantes en álgebra lineal: Primero, nunca elijas una base. En segundo lugar, ni siquiera pienses en elegir una base. En tercer lugar, cuando elija una base, hágalo sabiamente.
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