Valores propios de un sistema de dos partículas acoplado frente a desacoplado

Considere un sistema de dos partículas distinguibles de espín-1/2 con hamiltoniano

$$\begin{align} H &= \frac{\alpha}{4} \vec{\sigma}_1 \cdot\vec{\sigma}_2.\\ \end{align}$$ dónde$\vec{\sigma}_1 = (\sigma_x\otimes 1, \sigma_y\otimes 1, \sigma_z\otimes 1)$y$\vec{\sigma}_2 = (1\otimes \sigma_x,1\otimes \sigma_y,1\otimes \sigma_z)$. En la base z desacoplada, podemos escribir el hamiltoniano como $$\begin{align} H&= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}\otimes\sigma_{x}+\sigma_{y}\otimes\sigma_{y}+\sigma_{z}\otimes\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\otimes\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix} \end{align}$$ La matriz $$\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix}$$ tiene valores propios$\pm\sqrt{3}$, por lo que en la base diagonal desacoplada $$H = \frac{3\alpha}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ que tiene vectores propios $$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\hspace{2mm}, \hspace{2mm}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\hspace{2mm}, \hspace{2mm} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ con sus respectivos valores propios$3\alpha/4, -3\alpha/4, -3\alpha/4, 3\alpha/4$.

Podríamos haber reescrito el hamiltoniano como

$$\begin{align} H &= \frac{\alpha}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_1+\frac{1}{2}\vec{\sigma}_2\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_1\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_2\right)^2\right]\\ &=\frac{\alpha}{2}\left[s(s+1) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} +1\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} +1\right)\right]\\ &=\frac{\alpha}{2}\left[s(s+1) - \frac{3}{2}\right] \end{align}$$ dónde$s$es el espín en la base acoplada ($s=0$o$1$). Por lo tanto, los valores propios del hamiltoniano en la base acoplada son$-3\alpha/4$(con degeneración 1) y$\alpha/4$(con degeneración 3).

Los valores propios del hamiltoniano no deberían depender de su elección de base, pero en lo anterior obtengo diferentes valores propios en las bases acopladas y desacopladas. ¿Dónde me estoy equivocando?

Solución (gracias a Vadim): En el$|\uparrow\uparrow\rangle, |\uparrow\downarrow\rangle,|\downarrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle$base el hamiltoniano toma la forma

$$\begin{align} H&= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}\otimes\sigma_{x}+\sigma_{y}\otimes\sigma_{y}+\sigma_{z}\otimes\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{align}$$ que tiene valores propios$-3\alpha/4$y$\alpha/4$. Esto no es lo mismo que $$\begin{align} \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\otimes\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right) = \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1&1-i&1-i&-2i\\1+i&-1&2&-1+i\\1+i&2&-1&-1+i\\2i&-1-i&-1-i&1\end{pmatrix} \end{align}$$ que tiene valores propios$\pm3\alpha/4$.