Valores propios del Producto de 2 operadores hermitianos [cerrado]

Dejar A y B Sean dos operadores hermitianos. Dejar C ser otro operador tal que C = A B . ¿Qué podemos decir acerca de los valores propios de C ? ¿Serán reales/imaginarios/complejos? Lo que hice fue buscar ejemplos. Los siguientes fueron ejemplos (en representación matricial) que busqué: A = [ 1 0 0 1 ] y B = [ 0 1 1 0 ] para obtener una matriz hermitiana y así valores propios reales.
A continuación probé:
A = [ 1 0 0 − 1 ] y B = [ 0 1 1 0 ] para obtener la matriz anti-hermitiana y, por lo tanto, los valores propios imaginarios.
¿Hay una forma más concreta de solucionar esto? ¿Podemos tener un número complejo general como valores propios para el producto de las matrices hermitianas?

Posible duplicado por OP: physics.stackexchange.com/q/666144/2451
No estaba al tanto de este duplicado. Publiqué la solución general aquí: physics.stackexchange.com/a/666155/226902
¿Responde esto a tu pregunta? Suma de conmutador y anticonmutador

Respuestas (2)

En general, podemos decir que C = A B tendrá valores propios reales, imaginarios y complejos (complejos de la forma z = a + i b dónde y { a , b ∈ R ∣ a , b ≠ 0 } como se muestra en los comentarios de Mark y la respuesta de Qmechanic). Por ejemplo, si

A = [ 0 1 1 0 ]     y     B = [ 1 0 0 − 1 ]
dónde
A B = [ 0 − 1 1 0 ]
no tendrá valores propios reales, sino imaginarios.

Sin embargo, una cosa que podemos decir es que si A y B conmutar entonces C = A B siempre tendrá valores propios reales , ya que los valores propios de todos los operadores hermitianos son reales.

Así que si

C = A B
entonces
C † = ( A B ) † = B † A † = B A
desde A y B son hermíticos, y claramente
C † = C
si
[ A , B ] = A B − B A = 0 → A B = B A
Esto significa que C † = C sólo si A y B conmutar en cuyo caso C tendrá valores propios reales.

Poder C alguna vez tienen valores propios de la forma a + i b , dónde a , b ∈ R y a , b ≠ 0 ?
señor, quise decir que podemos tener valores propios de la forma a + i b dónde a , b ∈ R y a , b ≠ 0
Gracias @joseph h Señor.
No hay problema. Buena suerte con sus estudios.
Me gustaría agregar en la respuesta de @josephh que si el anticonmutador de A y B es 0, entonces C será antihermitiano y, por lo tanto, tendrá valores propios puramente imaginarios
@josephh No es cierto que los valores propios sean reales o imaginarios. La matriz A B generalmente tiene componentes hermitianos y antihermitianos, por lo que los valores propios pueden ser cualquier número complejo. Considere por ejemplo A = σ z y B = σ z + σ X , entonces A B = 1 + i σ y , dónde σ X , y , z son matrices de Pauli. Los valores propios de A B son 1 ± i .
Estoy de acuerdo con @MarkMitchison. Es posible demostrar que (en general) los valores propios de A B son complejos y vienen en pares conjugados (como en el ejemplo del comentario de Mark Mitchinson), consulte physics.stackexchange.com/a/666155/226902
LifelongLearner Tenga en cuenta que hay casos en los que los valores propios pueden tener la forma a+ib, como Mark Mitchison ha mostrado anteriormente usando las matrices de espín (Gracias, Mark). Esto significa que los valores propios, en el caso general, pueden ser puramente reales o puramente imaginarios y complejos. Pero eso no cambia el hecho de que el producto A B tendrá valores propios reales puros si A y B desplazarse.

TL; DR: Suponiendo que A , B son autoadjuntos, el producto A B no necesita ser diagonalizable. Y si A B es diagonalizable, los autovalores no necesitan ser reales o imaginarios.

Ejemplo 1: A B no es diagonalizable:

A   =   ( 0 1 1 0 ) ∧ B   =   ( 1 0 0 0 ) ⇒ A B   =   ( 0 0 1 0 ) .

Ejemplo 2: A B tiene valores propios complejos:

A   =   ( 0 1 1 0 ) ∧ B   =   ( 0 b b ∗ 0 ) ⇒ A B   =   ( b ∗ 0 0 b ) .

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