¿Existe una forma sencilla de encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?

Question

¿Existe una forma sencilla de encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?

SuperCiocia

¿Cómo puedo encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?

Mi intento :

Tal estado propio obedecerá:

a^{†} | ψ ⟩ = α | ψ ⟩ .

$a^{\dagger} |\psi \rangle = \alpha |\psi \rangle.$

podemos ampliar $|\psi \rangle$ en términos de los autoestados cuánticos SHM: $|\psi \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle$ .

Conociendo la acción de la operación de creación de modos propios cuánticos SHM ( $a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle)$ :

a^{†} | ψ ⟩ = a^{†} \sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} | norte ⟩ = \sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} \sqrt{norte + 1} | norte + 1 ⟩

$a^{\dagger} |\psi \rangle = a^{\dagger} \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sqrt{n+1}|n+1\rangle$

de donde el estado $|0\rangle$ ahora falta, por lo que nunca será igual a la RHS de la primera expresión, $\alpha |\psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha c_n |n\rangle$ .

DanielSank

El operador de creación no puede tener estados propios. Los estados propios del operador de aniquilación se denominan "estados coherentes". Buscalo en Google :)

fénix87

Esto no es una sorpresa, ya que

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ no son auto-adjuntos

Cosmas Zachos

…pero mira esto …

Respuestas (1)

¿Existe una forma sencilla de encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?

El operador de creación no puede tener estados propios. Los estados propios del operador de aniquilación se denominan "estados coherentes". Buscalo en Google :)
Esto no es una sorpresa, ya que $a$ y $a^\dagger$ no son auto-adjuntos

DanielSank · Answer 1

Escriba un estado arbitrario como

| Ψ ⟩ = \sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} | norte ⟩ .

$|\Psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle \,.$

Ahora aplica el operador de elevación

\begin{aligned} a^{†} | Ψ ⟩ & = a^{†} \sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} | norte ⟩ \\ = \sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} \sqrt{norte + 1} | norte + 1 ⟩ \\ = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte - 1} \sqrt{norte} | norte ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} a^\dagger |\Psi\rangle &= a^\dagger \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sqrt{n+1} |n+1\rangle \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} c_{n-1} \sqrt{n} |n\rangle \end{align}$

Si $|\Psi\rangle$ es un estado propio de $a^\dagger$ con valor propio $\alpha$ entonces nosotros tenemos

\sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} | norte ⟩ = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte - 1} \sqrt{norte} | norte ⟩ .

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle = \sum_{n=1}^\infty c_{n-1} \sqrt{n}|n \rangle \, .$

Ya llegaste hasta aquí. De hecho, la única solución a esta ecuación es $c_n=0$ para todos $n$ . Por lo tanto, no hay estado propio de $a^\dagger$ .

Los estados propios de $a$ , que se denominan "estados coherentes" están dados por

| α ⟩ = {mi}^{- | α |^{2} / 2} \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{α^{norte}}{\sqrt{norte!}} | norte ⟩ .

$|\alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle \, .$ Puedes comprobarlo fácilmente aplicando

a

$a$ a

| α ⟩

$|\alpha \rangle$ eso

| α ⟩

$|\alpha \rangle$ es un estado propio de

a

$a$ .

¿Puedes explicar por qué? $c_{n}$ =0 para todo n, es la única solución para el caso del operador de creación
@SSP_user5275 El lado derecho de la ecuación no tiene $|0\rangle$ término, por lo que el lado izquierdo tampoco debe tener $|0\rangle$ término, y así $c_0=0$ . Ahora considere el $|1\rangle$ termino y obtenemos $c_1 = c_0 \sqrt{1} = 0$ . Repita este argumento para todos los términos.

¿Existe una forma sencilla de encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?

SuperCiocia

DanielSank

fénix87

Cosmas Zachos

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DanielSank

Draco_1125

DanielSank

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