¿Matrices de Pauli y operadores de rotación 2D?

Bueno, es banal. Real$2D$rotaciones, vistas ambas como matrices en$\mathbb R^2$o$\mathbb C^2$son todos de la forma

$$R(\theta)= e^{\theta i\sigma_2}\:.$$ (Darse cuenta de $i\sigma_2$es realmente antisimétrico como debe serlo siendo un generador de $so(2)$.) Además de la descomposición espectral en $\mathbb C^2$, $e^{\theta i\sigma_2}$tiene los mismos vectores propios que $\sigma_2$.

Para responder a la parte de la dimensión genérica, en caso de que no sea evidente a partir de la respuesta de Valter:

En D dimensiones, la matriz de rotación es la exponencial de un ángulo θ por una matriz K , un generador normalizado del grupo de rotación correspondiente SO( D ) alrededor de algún eje unitario D -vector k , en la representación vectorial, por lo que la matriz es D ×D . Los vectores propios de estas matrices K serán igualmente los vectores propios del operador de rotación.

Sin embargo, dado que hay varios (un infinito) ejes de rotación para D > 2, habrá una infinidad de conjuntos de vectores propios, cada uno caracterizado por la matriz de espín específica K .

Por ejemplo, en D = 3, la representación vectorial, la matriz de rotación se da como esta exponencial de la matriz de productos cruzados

$$\mathbf{K}= \left[\begin{array}{ccc} 0 & -k_3 & k_2 \\ k_3 & 0 & -k_1 \\ -k_2 & k_1 & 0 \end{array}\right],$$ expandido trivialmente por la fórmula de Rodrigues a solo $\mathbf{R} = \mathbf{I} + (\sin\theta) \mathbf{K} + (1-\cos\theta)\mathbf{K}^2 ~$. Por lo tanto, los tres vectores propios de K ( uno de los cuales es el vector nulo k ) son también los vectores propios de R.