hamiltoniano actuando sobre el operador de suma

Estoy siguiendo una derivación en un libro. Está implementando un estado | ψ ⟩ en la ecuación de valor propio H ^ | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩ . El | ψ ⟩ término contiene un | ϕ ⟩ − Σ norte | x norte ⟩ . . . y cuando se expande se convierte en H ^ | ϕ ⟩ − Σ norte mi norte | x norte ⟩ . . . .

¿Alguien podría explicar por qué el hamiltoniano se convierte en mi norte al actuar dentro del operador sigma?

Es posible que desee elaborar un poco más en la línea expandida, pero parece que es solo el valor propio del estado n (ésimo), es decir, la energía del estado excitado n de x (mira el oscilador armónico por ejemplo). Esto significaría que el operador sigma y el hamiltoniano conmutan. ¿Tienes la forma del operador sigma?

Respuestas (1)

Parece que el estado | ψ ⟩ es una superposición de | ϕ ⟩ y varios estados propios del hamiltoniano:

H ^ | x norte ⟩ = mi norte | x norte ⟩

Entonces, sigma simplemente denota la suma de los estados propios. Y dado que el operador de Hamilton es lineal, puede aplicarlo fácilmente a cada elemento de la suma de forma independiente.

H ^ | ψ ⟩ = H ^ ( | ϕ ⟩ − Σ norte | x norte ⟩ ) = H ^ | ϕ ⟩ − H ^ ( | x 1 ⟩ + | x 2 ⟩ + … )
= H ^ | ϕ ⟩ − ( H ^ | x 1 ⟩ + H ^ | x 2 ⟩ + ⋯ ) = H ^ | ϕ ⟩ − ( mi 1 | x 1 ⟩ + mi 2 | x 2 ⟩ + ⋯ )
= H ^ | ϕ ⟩ − Σ norte mi norte | x norte ⟩

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