¿Cuáles son las convenciones de fase en los cálculos de momento angular y rotación?

Aquí hay un buen par de párrafos de Bohr & Mottelson:

Desde la inversión del tiempo$T$anticonmuta con el momento angular total, es conveniente combinar$T$con una rotación$R$a través del ángulo$\pi$sobre un eje perpendicular a la$z$-eje (el eje de cuantización del espacio). Tal rotación también invierte [momento angular]$I_z$y por lo tanto

$$\begin{align*} [ RT, I_z ] &= 0 \\ [ RT, (\mathbf I)^2] &= 0. \end{align*}$$ Por lo tanto, es posible construir un conjunto de estados base con números cuánticos $IM$, que también son vectores propios de $RT$. Eligiendo adecuadamente las fases de estos estados, los autovalores de $RT$puede ser igual a la unidad, $$RT \left| \alpha IM\right> = \left| \alpha IM \right>,$$ dónde $\alpha$representa un conjunto de números cuánticos adicionales que especifican la estructura interna de los estados. El phasing convencional corresponde a elegir el eje de rotación de $R$ser el $y$eje.

y después

En la representación en la que$j_z$es diagonal, los elementos de la matriz que no desaparecen de los operadores de momento angular son

$$\begin{align*} \left< jm \middle| j_z \middle| jm\right> &= m \\ \left< jm\pm1 \middle| j_x\pm ij_y \middle| jm\right> &= \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)} \end{align*}$$ Los elementos de matriz no diagonales de $j_x\pm ij_y$involucrar factores de fase arbitrarios asociados con la elección de fases relativas para los estados con diferentes $m$. La convención de fase [arriba] implica que los elementos de la matriz de $j_x$son reales mientras que los de $j_y$son puramente imaginarios, ya que $j_x$viaja con $RT$mientras $j_y$anticonmuta con $RT$. Por lo tanto, nos quedamos con factores de fase reales arbitrarios (± 1), que se fijan convencionalmente por el requisito de que los elementos de la matriz de $j_x ± i j_y$ser positivo (Condon y Shortley, 1935).

Hoy en día, estas "opciones" de fase están absorbidas por las definiciones estándar de los armónicos esféricos (particularmente la relación entre fase y$m$) y en la representación típica para los tres ejes de giro (uno diagonal, uno puramente real y otro puramente imaginario).