Energías propias y mercados propios dado el hamiltoniano

Para un sistema de dos niveles, el hamiltoniano es:

H = a ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | )

dónde a es un número con la dimensión de una energía.

Necesito encontrar los valores propios de energía y los mercados propios correspondientes (como una combinación de | 1 ⟩ y | 2 ⟩ ).

Solía:

H | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩
Y usando el hecho de que: | a ⟩ = ∑ i C i | a i ⟩

escribí | ψ ⟩ como una combinación de los dos sistemas kets | ψ ⟩ = C 1 | 1 ⟩ + C 2 | 2 ⟩ ( C 1 , C 2 son números complejos).

entonces

H | ψ ⟩ = a ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) ⋅ ( C 1 | 1 ⟩ + C 2 | 2 ⟩ ) = a ( C 1 | 1 ⟩ − C 2 | 2 ⟩ + C 2 | 1 ⟩ C 1 | 2 ⟩ ) = a ( ( C 1 + C 2 ) | 1 ⟩ + ( C 1 − C 2 ) | 2 ⟩ ) = mi | ψ ⟩ .
¿Cómo sigo?

Escríbelo en notación matricial. Este problema puede parecer más familiar si lo hace.

Respuestas (2)

Encontrar valores propios de matrices es un proceso sencillo, por lo que para resolver este problema comenzaremos escribiendo el hamiltoniano en forma matricial en base a | 1 ⟩ y | 2 ⟩ .

Para encontrar la forma matricial de cualquier transformación lineal en álgebra lineal, podemos aplicar la transformación a los vectores base. En nuestro caso, encontramos H | 1 ⟩ y H | 2 ⟩ :

H | 1 ⟩ = a ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) | 1 ⟩ = a ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ )

Desde | 1 ⟩ y | 2 ⟩ son vectores base ortonormales, sabemos que el producto interno de dos vectores diferentes es 0 y los mismos vectores es 1. Podemos usar este hecho para simplificar mucho lo anterior:

a ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ ) = a ( | 1 ⟩ + | 2 ⟩ )

Un proceso similar revela que

H | 2 ⟩ = a ( | 1 ⟩ − | 2 ⟩ )

Ahora, podemos escribir el hamiltoniano como una matriz en la base provista:

H = a [ 1 1 1 − 1 ]

Encuentre los vectores propios de esta matriz para determinar los mercados propios.

(Por cierto, puede notar algunos paralelismos entre la expresión hamiltoniana dada y la matriz hamiltoniana calculada. Piense en cómo se podría usar esto para acelerar el proceso de encontrar la matriz hamiltoniana para problemas en este formato).

H | ψ ⟩ = . . . = a ( ( C 1 + C 2 ) | 1 ⟩ + ( C 1 − C 2 ) | 2 ⟩ ) = mi | ψ ⟩ .

Ahora solo tienes que recordar cómo has definido | ψ ⟩ . Aplique esta definición en la ecuación anterior y sabiendo que | 1 ⟩ y | 2 ⟩ son independientes, usted puede encontrar fácilmente C i .

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