¿Existe la verdad sin pruebas?

Solo para agregar el punto muy trivial de que, como mínimo, el matemático intuicionista también debe aceptar la definición en sus fuentes de verdades legítimas. Estas se toman en cierto sentido como verdades "analíticas", declarándolas no tanto como cuestiones de sustancia sino de semántica, ¡pero nuestras elecciones de definiens influyen en gran medida en las estructuras matemáticas resultantes que emergen de nuestros procesos de prueba!

Puede definir un enunciado de una teoría como " verdadero " si se cumple en todos los modelos, y como " probable " si hay una deducción lógica de los axiomas de la teoría.

Luego, el primer teorema de incompletitud de Goedel nos dice que cualquier teoría, que sea al menos tan poderosa como la teoría de números, contiene enunciados verdaderos que no son demostrables.

Por lo tanto, "verdadero" no implica "probable", mientras que se cumple lo contrario.

Para conocer el punto de vista realista , consulte Realismo del valor de verdad .

El realismo del valor de verdad es la opinión de que cada enunciado matemático bien formado tiene un valor de verdad único y objetivo que es independiente de si podemos conocerlo y si se sigue lógicamente de nuestras teorías matemáticas actuales.

Para un punto de vista constructivista, consulte Enrico Martino, Intuitionistic Proof Versus Classical Truth: The Role of Brouwer's Creative Subject in Intuitionistic Mathematics, (Springer, 2018) , Capítulo 11 Temporal and Atemporal Truth in Intuitionistic Mathematics , página 97-on:

Martin-Löf (1991) distingue entre la verdad real y potencial de una proposición. Estas nociones serían explicadas intuicionistamente por las nociones de existencia real y potencial.de una prueba Una prueba de una proposición $A$ existe realmente si, de hecho, se ha probado $A$; existe potencialmente si se puede probar $A$. Aquí la posibilidad no se entiende en el sentido intuicionista tradicional como conocimiento de un método para probar $A$, sino como posibilidad “independiente del conocimiento y sin tiempo”. En consecuencia, una proposición que ha sido probada se vuelve verdadera en acto, pero era potencialmente verdadera incluso antes de haber sido probada, y sería verdadera incluso si, de hecho, nunca hubiera sido probada. De esta manera, según Martin-Löf, el intuicionista puede superar la conocida objeción de que decir que una proposición se vuelve verdadera justo cuando se prueba es contraintuitivo y está en conflicto con el uso estándar del predicado de verdad: la verdad potencial no está abierta. a esa objeción.

De acuerdo con este punto de vista, antes de la demostración de Lindemann (1882) , la naturaleza trascendental de π era potencialmente verdadera y se convirtió en efectiva con la demostración de 1882.

por lo general demostramos un enunciado usando otros enunciados que ya han sido probados. ¿Hacemos esto porque llevaría mucho tiempo probar todas las demás afirmaciones desde cero? ¿Podríamos probar esa declaración en particular sin usar ninguna otra declaración probada?

Esta es la esencia del método Axiomático , que estamos usando desde Aristóteles y Euclides.

Una prueba requiere una "maquinaria lógica" (reglas de inferencia) para deducir nuevos enunciados (teoremas) a partir de los existentes (teoremas y axiomas probados anteriormente).

Tenemos que empezar en alguna parte...

El matemático Kurt Gödel demostró que hay más verdades matemáticas arbitrarias, con las que sólo se puede tropezar, que verdades matemáticas que se pueden demostrar mediante una lógica rigurosa.

Cualquiera que afirme que las verdades no existen hasta que se prueban debe explicar cómo se pueden tropezar con las verdades sin pruebas rigurosas.

Cue mucho agitando la mano sobre "No, pero lo que quiero decir con 'verdad' es ..." - sigue una declaración de alguna creencia que en sí misma no puede probarse como verdadera.