¿Cómo se aplica el teorema de Gödel a la vida diaria?

Encontré una descripción simplificada del teorema de Gödel y la discusión toca un concepto de honestidad (¿verdad?) e integridad. ¿Cómo se aplica el teorema de Gödel a las interacciones cotidianas?

El asunto es la verdad, no la honestidad. La idea es que con un sistema formal suficientemente poderoso, puede ser (a) completo y no 'saberlo'; o (b) 'conocer' su integridad y contener ≥ 1 contradicción. Una forma de describir esto es que "la verdad es más fuerte que la demostrabilidad".
no lo hace
@Mauro ALLEGRANZA - ¿Podría explicar por qué no?
No estoy seguro de que Gödel haya tenido mucho impacto en la vida cotidiana de la gran mayoría de los matemáticos. Hasta ahora, las limitaciones que ha puesto en su trabajo no han sido tan restrictivas, como máximo un pequeño bache. Las matemáticas siguen creciendo a pasos agigantados.
@ Motivado En primer lugar, porque los teoremas de incompletitud de Goedel solo se aplican a los sistemas de axiomas que son lo suficientemente potentes como para expresar aritmética de primer orden. Esta es una restricción significativa e invariablemente se omite en las invocaciones de los teoremas de la ciencia pop.
La prueba de Turing de la irresolubilidad del problema de la detención es esencialmente una variante computacional del primer teorema de incompletitud de Gödel. Hay una pregunta relacionada sobre la importancia práctica del problema de detención en Computer Science Stack Exchange.
@David Richerby - Gracias David. ¿Qué quiere decir con sistemas de 'axioma'?
@Motivated Google es su amigo, o haga una pregunta por separado. Un comentario de 500 caracteres es demasiado corto para responder eso.
"Hoy, mañana, el día siguiente, el día después de eso..." ¿Podemos inferir un sistema de axiomas lo suficientemente poderoso como para expresar aritmética de primer orden a partir de esta serie de palabras?

Respuestas (3)

Puede que nunca afecte su vida cotidiana, pero ha debilitado nuestra confianza en métodos lógicos rígidos, como cultura. Si ni siquiera las matemáticas pueden alcanzar este tipo de cobertura completa de un dominio, hay una buena razón para pensar que habitualmente sobrevaloramos el papel de las reglas en la ciencia.

Creo que el cambio hacia ver más el lado humano de la investigación científica, y admitir que está profundamente afectado por la fe personal, fue desencadenado por el freno que este tipo de resultado puso sobre el positivismo lógico.

Es en efecto el primer hecho posmoderno. Incluso si no recorre todo el camino del posmodernismo, mantiene el error en su oído que dice que el modernismo absoluto se esfuerza por más de lo que se puede lograr de manera realista. La sociología, la fe, la naturaleza humana, etc. realmente importan al final, y no solo serán aplastados por el poder absoluto de cualquier sistema.

Me gusta esto, pero creo que le estás atribuyendo demasiado a Goedel y al hundimiento del positivismo lógico al decir que estos han "debilitado nuestra confianza en las metodologías como cultura" de manera significativa, o que tienen mucho que ver con el surgimiento del posmodernismo, aunque es un paralelo interesante (por eso me gusta esto).
¿Tiene una cita para la afirmación de que los teoremas de Goedel han "debilitado nuestra confianza en las metodologías"?
¿Qué quiere decir con "nuestra confianza en las metodologías"? "Las metodologías" se basaron en axiomas incluso anteriores a Goedel. Solo puso un punto final en la búsqueda de una forma de deshacerse de ellos.
No me refiero a efecto directo, me refiero a influencia cultural en la toma de decisiones. Probablemente no habríamos tenido posmodernismo sin Kuhn, ni Kuhn sin Turing, ni Turing sin Goedel. Es la noción de línea dura la que inclinó la balanza en contra de la fe en que la ciencia no retrocede.
Una vez más, la idea de que "probablemente no habríamos tenido posmodernismo sin Kuhn" es apócrifa. Kuhn fue bien recibido y promovido por los pensadores posmodernistas, pero no tuvo un papel penúltimo en la formulación del pensamiento posmoderno.
Dicho de otra manera, uno podría elaborar una lista que incluya, por ejemplo, a Freud, Heisenberg, Husserl, Kafka, etc. y reclamar un significado histórico similar para lo que ha atribuido puramente a Goedel y Turing.
@jobermark: ¿eso significa que el teorema de Goedel no se puede aplicar a las conversaciones o interacciones cotidianas?
@goldilocks: OK, la idea de que necesitas una masa crítica de cosas para llegar a algún lado, y si omitiste una de las fuentes, no podrías alcanzarla, no es misteriosa. No estoy atribuyéndole todo a una lista dada de personas. Deja de poner palabras en boca de la gente. Esas otras personas no se ocupan de hechos del mismo orden, Goedel juega un papel que le asigné en el sentido de que son sus hechos, y no sus ideas, los que contribuyen a este desarrollo. Él no habría estado feliz de verlos usados ​​de esta manera. Los hechos de Heisenberg esperaron un tiempo para ser validados, mientras que las matemáticas son más inmediatas.
@ Motivado El contexto de la vida cotidiana rara vez es lo suficientemente claro como para aplicarle directamente matemáticas de orden superior. Y Goedel solo se aplica a una cierta capa de matemáticas, una con aritmética pero sin conjuntos de conjuntos con nombre. Por lo tanto, le resultará difícil encontrar una aplicación real.
OTOH, las ideas tienen influencia con solo estar ahí. ¿Has mirado a Douglas Hoffstadter? Da una buena impresión de cómo Goedel refuerza la utilidad de la autorreferencia automodificadora, en un sentido informal, y cómo se ha convertido en una parte importante del pensamiento moderno.
Desafortunadamente, una comprensión de la incompletud de Gödel requiere una comprensión bastante profunda de los sistemas axiomáticos, lo que hace que la gran mayoría de los filósofos sean funcionalmente incompetentes en cuanto a poder decir algo sustantivo sobre el asunto. Demonios, incluso yo no lo entiendo, ni me siento seguro haciendo afirmaciones sobre lo que dice o no dice, y soy un alumno del MIT. Hay una triste historia de chiflados y bribones que atribuyen erróneamente una variedad de afirmaciones extravagantes a los teoremas de Gödel, y sospecho que el trabajo de la mayoría de los no matemáticos sobre el tema entrará en esta categoría.
El resultado de Gödel no frenó el positivismo lógico. Eso no refleja en absoluto la historia del positivismo. Véase, por ejemplo, Ronald N. Giere, “From WissenschaftlichePhilosophie to Philosophy of Science”.
@ChristopherE Carnap fue un problema, y ​​lo obligó a hacer afirmaciones extrañas que no son realmente consistentes con el positivismo:philosofía.stackexchange.com/questions/23922/ …
@DumpsterDoofus No soy un no matemático.

Esto es lo que Jordan Ellenberg, profesor de matemáticas en la Universidad de Wisconsin, tiene que decir sobre este tema en ¿Importa Gödel? artículo:

¿Qué tiene el teorema de Gödel que captura tanto la imaginación? Probablemente, su forma demasiado simplificada en inglés sencillo: "Hay cosas verdaderas que no se pueden probar", es naturalmente atractiva para cualquier persona con una sensibilidad remotamente romántica. Llámelo "la maldición del eslogan": cualquier resultado científico que pueda aproximarse mediante un aforismo está maduro para la apropiación indebida. La formulación matemática precisa que es el teorema de Gödel en realidad no dice "hay cosas verdaderas que no se pueden probar" más de lo que la teoría de Einstein significa "todo es relativo, amigo, solo depende de tu punto de vista". Y ciertamente no dice nada directamente sobre el mundo fuera de las matemáticas., aunque el físico Roger Penrose utiliza el teorema de incompletitud al presentar su controvertido argumento sobre el papel de la mecánica cuántica en la conciencia humana.

Entonces, la respuesta corta a su pregunta parece ser que no, y que se debe tener mucho cuidado de no usar o tergiversar los teoremas.

Editar: dada la gran cantidad de votos a favor que ha recibido esta respuesta, debo señalar que de ninguna manera soy un experto en el tema, y ​​que una explicación alternativa y más profunda de alguien que sabe más sería muy apreciada.

Cuanto más afirman los científicos que el mundo es matemático, más tiene que decir el teorema de Gödel sobre el mundo. Por lo general, cuando los científicos nos dicen "cómo es realmente el mundo", dependen de las matemáticas. Esto es más estricto para aquellos que predican afirmaciones sobre la extrema precisión de la teoría cuántica de campos, que es casi exclusivamente matemática.
Como sin duda sabrá, los científicos dependen de las matemáticas para cuantificar los fenómenos; uno puede entender "cómo es realmente el mundo" - por ejemplo, tener una noción de átomos, genética, galaxias, polarización de la luz, efecto fotoeléctrico, etc. - sin usar matemáticas en absoluto, o aún no entender mucho a pesar de las matemáticas complejas y útiles. De todos modos, estoy de acuerdo en que las matemáticas obviamente pueden jugar un papel importante en la vida diaria, pero los teoremas de Gödel se refieren solo a ciertos sistemas formales, por lo que creo que su primera declaración es demasiado general: uno debe ser muy específico sobre cómo y por qué sus teoremas pueden aplicar (continuación)
(cont.) Es decir, el hecho de que las matemáticas estén involucradas no significa que los teoremas de Gödel sean inherentemente relevantes, como se explica en el artículo que cité. Además, fenómenos como la teoría del campo cuántico no parecen ser a lo que se refiere la publicación del OP, es decir, la verdad en la vida cotidiana. Pero de hecho sería interesante ver en qué tipo de modelos matemáticos Gödel podría usarse legítimamente...
Hmmm, todavía no estoy convencido. Me encuentro con afirmaciones de una comprensión completa del universo en términos de algún supuesto sistema formal todo el tiempo. Estos sistemas formales casi siempre incluyen aritmética y demostrabilidad. Entiendo un poco cómo fluye esto en nuestra vida diaria, pero cuando tienes personas que discuten desde el determinismo hasta los conceptos de responsabilidad moral y la política social, pregunto si en algún momento se hizo un reclamo de integridad que posiblemente no se pueda saber . Bueno, a menos que nosotros mismos estemos compuestos, por ejemplo, de axiomas no RE. Entonces Gödel no nos criticaría. :-pags
@labreuer La física teórica es un sistema que utiliza la aritmética; Los teoremas de incompletitud de Goedel se aplican a sistemas que pueden expresar aritmética de primer orden.
Esto básicamente dice que no debería tener efecto, no que no tenga efecto. Los efectos intelectuales que cosas como la relatividad, la dinámica cuántica y la incompletud tuvieron en las personas son reales, ya sea que este autor los considere justificables o no.
@DavidRicherby Una teoría que usa otra teoría libremente puede hacer todas las cosas que hace la teoría. La física teórica incluye la aritmética. Se espera que cualquier hecho aritmético no contradiga una predicción física. Pero está lejos de ser de primer orden. El análisis real, una parte de las matemáticas que los físicos ciertamente requieren, cuantifica inmediatamente las relaciones con solo definir un símbolo supremo. Entonces, el teorema no se aplica, pero aún así no dudo que esté incompleto...
@jobermark Si puede expresar aritmética de segundo orden, ciertamente puede expresar aritmética de primer orden. Pero la distinción uso/expreso es real y crucial. Claro, por ejemplo, la relatividad especial se expresa usando aritmética pero, para que Goedel se aplique a la relatividad especial, SR tendría que ser capaz de expresar pruebas sobre hechos aritméticos. Entonces, por ejemplo, tendría que ser capaz de traducir fórmulas de aritmética de primer orden en experimentos físicos que determinarían la verdad/falsedad de las fórmulas.
@DavidRicherby ¿Realmente no crees que puedes hacer ese tipo de experimento de física, al menos como un experimento gedanken? ¿Quizás con computadoras que construirían computadoras más grandes cada vez que se quedaran sin energía? Para que Goedel se aplicara aquí , todo el sistema tendría que ser de primer orden . Takeuti y otros todavía tienen la esperanza de que la aritmética de segundo orden (o al menos el análisis real) sea consistente y completa. Goedel simplemente nunca se aplica a la vida real. Período. Porque saltamos automáticamente sobre el lugar que importa, y directamente a los Reales. El efecto que tiene en nuestra vida cotidiana es psicológico.
@DavidRicherby Por ejemplo, la física podría considerarse consistente y completa si todas las declaraciones indecidibles de la física hicieran referencia explícita a infinitos. De hecho, esto es probable, ¿verdad? Dado Heisenberg, si el espacio y el tiempo son topológicamente compactos, podemos ejecutar cualquier aproximación lo suficientemente larga como para que el error se pierda en los rangos incognoscibles requeridos. Entonces, si reescribimos las derivadas en ecuaciones de onda como aproximaciones, ese es un modelo que muchos físicos llamarían completo. Pero la lógica de primer orden no puede tener un axioma que exprese la idea de que todo es finito. La lógica de segundo orden puede.
@w128 - Gracias. Acepté la respuesta de Jobermark ya que me resultó más fácil de entender. De ninguna manera es un reflejo de su respuesta.

Un ejemplo casi real de la explicación simplificada a la que se ha referido podrían ser los procedimientos en una gran corporación, si son lo suficientemente complejos. Imagina un procedimiento:

No se debe seguir un procedimiento que no cumpla con la misión de la Compañía.

Ahora, imagine que un empleado inexperto y borracho de café en las 5 a.m. modifica accidentalmente la declaración de la misión de la compañía al agregar esta oración:

La Compañía no permite trámites con descripción que comience con 'A' mayúscula

¿Se deben seguir o no todos los procedimientos que no cumplen con la misión de la empresa (por ejemplo, obsoletos, después de modificaciones anteriores de la misión de la política)?

Este es, por supuesto, un ejemplo de la paradoja del mentiroso . Si bien esto no expresa todo el teorema de Gödel, está estrechamente relacionado.

La situación descrita no es estrictamente de la vida real, ya que probablemente no haya ocurrido en la realidad :) Sin embargo, los sistemas de procedimientos pueden verse como sistemas formales, y cuando se vuelven complejos, a menudo tienen problemas con la consistencia y la integridad.

¿Debería haber controles para minimizar tales ocurrencias? Tengo curiosidad por saber qué tiene que ver con las conversaciones e interacciones que los humanos tienen entre sí.
Primero, ¿cómo es esta situación en la "vida real"? Segundo, ¿qué tiene que ver con los teoremas de incompletitud de Goedel? La primera pregunta es retórica. Para responder a la segunda, debe explicar, entre otras cosas, cómo se relaciona su ejemplo con los sistemas axiomáticos que son lo suficientemente potentes como para expresar aritmética de primer orden.
@DavidRicherby: Espero que la redacción permitida en los procedimientos imaginados sea capaz de expresar aritmética de primer orden (dado que incorpora suficiente inglés para describir cualquier procedimiento matemático) y que sea capaz de enunciar axiomas que luego conducen a verdades indemostrables (que también se puede indicar). Sin embargo, esta respuesta demuestra una paradoja lógica.
@DavidRicherby Gracias por tu comentario. He abordado los problemas que indicas en mi edición. Espero que al menos sea un poco mejor ahora :)
La paradoja del mentiroso nos dice que hay afirmaciones que no son ni verdaderas ni falsas. Goedel en pocas palabras es que hay afirmaciones verdaderas que no tienen prueba. Realmente no tienen mucho que ver el uno con el otro.
@DavidRicherby Consulte el enlace que he proporcionado. "verdadero/falso" se puede reemplazar con "probable/no demostrable", por lo que hay una analogía.
¿Cómo se aplica el teorema de Gödel a la vida diaria?
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