¿Puede la lógica de segundo orden (SOL) ser una lógica fundamental?

Haciéndose eco de lo que se ha dicho en los comentarios sobre su pregunta, la idea de "fundamental" parece un poco mal definida. Sin embargo, lo que parece que está preguntando es algo sobre la fuerza de la lógica de segundo orden y su capacidad para ser el sistema fundamental que puede resolver todo (bueno, en cualquier caso, todo lo que se puede resolver). Tenemos, a través de nuestras herramientas de metalógica, ideas como completitud y compacidad .eso puede definir una lógica, y estaríamos en nuestro derecho de decir que el segundo orden tiene algunas propiedades fuertes. Sin embargo, la lógica de segundo orden no es tan fuerte como la lógica de primer orden, en términos de estas propiedades. ¡La lógica de primer orden en sí misma ni siquiera puede usarse como una base completamente completa para la lógica! Esto se debe a los teoremas de incompletitud de Gödel.. Incluso si aceptamos los resultados de la primera y argumentamos que no importa si hay verdades indemostrables, ya que podemos mirar y ver que son verdaderas, ¡todavía no podemos probar la consistencia de la lógica de primer orden dentro de sí misma! El segundo teorema de incompletitud también se aplica a la lógica de segundo orden, por lo que estaríamos en el mismo barco. Si la lógica de primer orden, que es más fuerte, no es suficiente para formar la base de la lógica, ¿cómo podría tener éxito el segundo orden cuando es mucho menos fuerte?

El teorema de Lindström es un resultado en metalógica que mostró que la lógica de primer orden es la lógica "más fuerte", debido a que posee el teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de compacidad . Los resultados metalógicos de la lógica de segundo orden muestran que la lógica de segundo orden (con semántica completa) muestra que no posee estas propiedades. Peor aún, como señaló Quine ( 1970 ), ¡la lógica de segundo orden ni siquiera tiene un sistema de prueba completo! Esta es una muy mala noticia para la lógica de segundo orden. En última instancia, ningún axiomático será lo suficientemente fuerte como para ser utilizado como una lógica "fundamental" y Tarski nos lo presenta con un agradecimiento especial en parte.y Godel. Dicho esto, la lógica de primer orden es una elección mucho mejor que la lógica de segundo orden para que nos las arreglemos.

Estoy seguro de que la fecha límite para su ensayo ha pasado, pero espero que esto haya proporcionado una respuesta (algo) útil para cualquiera que tenga una pregunta similar.