Dado que la 'objetividad' de R es primaria, ¿por qué no tiene sentido decir que R no puede tener ni los atributos is a member of Rque is a member of Rse le atribuyen incorrectamente? Si este es el caso, entonces la paradoja de Russell se disuelve, ya que es la suposición de que R debe satisfacer is a member of Ro no lo is a member of Rque aparentemente nos lleva a la paradoja para empezar.

Si entiendo su pregunta correctamente, no desea declarar que estas relaciones de membresía sean declaraciones indecidibles (como las otras respuestas parecen interpretar su pregunta); desea restringir la colección Rpara que no tenga una relación de membresía establecida.

¡Buenas noticias, acabas de descubrir las clases adecuadas!

Dejando de lado el comentario sobre la "objetividad" de Cantor, que realmente no pude seguir, tu intuición te lleva en la dirección correcta.

Analicemos la situación:

R = { x : x ∉ x }el rendimiento R ∉ R ⇔ R ∈ Rse podía obtener en la teoría de conjuntos porque se estaba utilizando un principio de comprensión informal sin restricciones . Por lo tanto, el problema puede resolverse restringiendo cuidadosamente el principio de comprensión. Así es exactamente como se está haciendo en la teoría de conjuntos contemporánea , utilizando un esquema axiomático de comprensión restringida . El resultado es que ZFC no permite definir R, o, para decirlo más exactamente, Rpuede definirse como una reducción al absurdo para demostrar que el "conjunto de todos los conjuntos" no existe, es decir, suponiendo que su existencia lleva a la contradicción descrita por la paradoja de Russell.

El punto sobresaliente, sin embargo, es que lo que la prueba realmente nos dice es que el conjunto de todos los conjuntos no puede ser un conjunto . De hecho, la paradoja de Russell, así como la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali -Forti nos dicen simplemente que algunas colecciones, como "el conjunto de todos los conjuntos", no son conjuntos . El padre de la teoría de conjuntos, Georg Cantor , pensó en estas colecciones, a las que llamó " infinitos absolutos ", como fuera del alcance de las matemáticas y se volvió místico al respecto. Resulta que esta evaluación era demasiado pesimista. El tipo de colecciones que Cantor llamó "infinitos absolutos" se conocen hoy como clases propias . (Puede consultar adicionalmente estebreve introducción ).

En pocas palabras, el concepto de clase se puede introducir de esta manera:

Una clase xes un conjunto si y solo si hay una clase ytal que x ∈ y. Una clase que no es un conjunto se dice que es una clase propia.

Ahora, supongamos que R ∉ R. Si supone que R es un conjunto, obtiene una contradicción, por lo R que debe ser una clase propia .

En ZFC solo podemos hablar de clases adecuadas de manera informal . Sin embargo, existen sistemas fundacionales alternativos, conocidos también como teorías de clases , que ¡sorpresa! - permitir tratar clases propias formalmente al lado de conjuntos. El más "explícito" de estos sistemas es la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , que admite clases propias como objeto básico junto con conjuntos. Pero hay muchos otros enfoques .

Ver también:

• Conjunto de todos los conjuntos
• conjunto universal
• Preguntas sobre "clases adecuadas" en math.sx

Algunas clases propias notables:

• Universo construible
• universo von neumann

El problema radica en el principio de Comprensión;

la "receta" que seguimos para construir un conjunto:

METRO = { x : Fx }

Definiendo M como el conjunto de todos los objetos x tales que x tiene la propiedad F.

Bertrand Russell escribió esta receta: R = {x : x ∉ x}

¡Y surge una paradoja si preguntas si R es un elemento en R o no!

Por lo tanto, ¡se demostró que la teoría de conjuntos de Cantor (y el sistema lógico de Frege) eran inconsistentes!

Inventada por Cantor, la receta necesita ajustes y he aquí una sugerencia.

METRO = {x : x ∈ METRO IFF Fx}

Definiendo M como el conjunto de todos los objetos x tales que x es un elemento en M SI F x tiene la propiedad F.

Ahora x no puede tomar R como valor en la fórmula:

R = {x: Definiendo R como el conjunto de todos los objetos x tales que x es un elemento en R IFF x no es un elemento en x. x ∈ RIFF x ∉ x}

Y ya no se demuestra que la teoría de conjuntos de Cantor y la lógica de Frege sean inconsistentes.

Puede leer más sobre la teoría de conjuntos original aquí : https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory#Cantor's_theory

Respuesta a un comentario de jobermark:

No es "{x: Fx}" lo que define "M". El constructor de conjuntos original no usa el nombre del conjunto que se va a construir. La denominación tiene lugar fuera del constructor mediante el uso de la declaración de identidad "M={x: Fx}". Habilitación de la inconsistencia cuando F(M) = "M ∉ M".

Al usar "M" como una metavariable que aparece en ambos lados de la declaración de identidad: M = {x : x ∈ M IFF Fx}, la cuestión de si M es un elemento de M o no se resuelve DENTRO del constructor de conjuntos por el contradicción "M ∈ M SI F M ∉ M" y ya no podemos hacer la afirmación externa de que M DEBE ser un elemento de M si M no es un elemento en M.

¿No estás familiarizado con las Metavariables? Ver la definición de verdad: "x" es verdadero IFF x.

¡Parece que Cantor estuvo allí antes que yo! En una carta a Dedekind, discutió el ajuste del Principio de comprensión ... Thomas Benjamin da una versión moderna de la teoría ajustada de Cantors:

Teoría de conjuntos ingenua:

Extensionalidad: Dados dos conjuntos A y B, A=B iff (x)[x 'es un miembro de' A iff x es un miembro de' B]

Comprensión: Dado cualquier predicado P(x), el conjunto {x|P(x)} existe y

(a)[a 'es miembro de' {x|P(x)} iff P(a)]

Y luego Thomas pregunta si todavía se pueden derivar paradojas de esta versión modificada de la Teoría ingenua de conjuntos de Cantor.

¡Solo pregunté si se puede derivar la paradoja de Russell!

El predicado es x ∉ x

El nombre del conjunto es {x|x ∉ x}

Y el constructor de conjuntos es: x ∈ {x|x ∉ x} IFF x ∉ x

¡Y Cantor finalmente obtendría que sin x es cierto que x = {x|x ∉ x}!

¡Pero es confuso usar "{x|x ∉ x}" como el nombre del conjunto a construir!

Entonces, cuando el predicado se define como x ∉ x, entonces estipulo que R = {x|x ∉ x}

Entonces puedo tener el constructor de conjuntos con R dentro de {x|x ∈ R IFF x ∉ x}

Y finalmente R = {x|x ∈ R IFF x ∉ x} (Mi versión)

Pero podemos eliminar R si queremos la versión de Cantors:

{x|x ∉ x} = {x| x ∈ {x|x ∉ x} S.I.F. x ∉ x}

Ha construido R y ahora pregunta si R es un miembro de R. Una respuesta positiva o negativa a esta pregunta conduce a una contradicción. Lo está resolviendo diciendo que R no puede tener las propiedades: 'es un miembro de R' o no, 'es un miembro de R'. Esto es absurdo. Es como decir que una afirmación no puede ser 'verdadera' o 'falsa'. A menos que esté utilizando alguna lógica distinta a la estándar, ninguna declaración puede ser ni verdadera ni falsa. (Es decir, cada afirmación es verdadera o falsa).

Obviamente, esto funciona, pero necesitas algo parecido a una razón:

• Puede descartar la Ley del medio excluido, lo que da como resultado una lógica "intuicionista" más básica.
• puede insistir en un orden inherente en el proceso de creación de conjuntos, lo que lleva a la construcción elaborada y antinatural de ZFC y sus parientes
• puede afirmar que la noción de 'ser un elemento' simplemente no se aplica a ciertos tipos de objetos, incluidas las colecciones que son 'demasiado grandes' y aquellas que no están "bien fundadas"
• puede implicar que todas las referencias en un idioma tienen un orden natural de resolución, comenzando con el enfoque sugerido en la pregunta y conduciendo a las nociones elaboradas y antinaturales de 'ramificación' de Russel y Quine para manejar más y más casos especiales.
• puede afirmar que la negación no es total y admitir algunas contradicciones en su lógica como casos especiales
• puede pasar por un proyecto masivo de describir todas las formas de orden y buscar un modelo estable máximo, aceptando esa contención, siendo el tipo más básico de orden debe ser isomorfo a ese modelo estable máximo si resulta único

Todos estos, y otros, funcionan. Y todos ellos son muy difíciles de aceptar sin una mejor base filosófica que la necesidad de resolver este problema.

Así que no ha cambiado ninguna respuesta por demasiadas respuestas, y dado que todas parecen tontas, a primera vista, no se encuentra en una mejor posición. Sigue siendo cierto que la lógica en el sentido clásico completo no puede tener razón sobre nuestras nociones de contención, universalidad y negación tal como las entendemos ingenuamente, en un reino platónico completamente resuelto e inmutable. Una parte de nuestro modelo natural no es naturalmente correcta.

La paradoja es entonces qué parte de tu ingenuo y natural entendimiento quieres desechar para sentirte seguro, y cómo podemos llegar a un acuerdo en algo tan básico, para que la evolución de las matemáticas pueda avanzar. Y no es más fácil de resolver que el problema original.

La 'solución' moderna ha sido sacar a relucir todas estas soluciones e imponer una de ellas por la fuerza de los números, un extraño proceso político ajeno a la noción misma de las matemáticas.

Bertrand Russell había descubierto una inconsistencia en la axiomatización de la teoría de conjuntos de Frege, aún por publicar. Usando los axiomas de Frege, Russell demostró que el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos podría demostrarse tanto que existe como que no existe. Axiomatizaciones posteriores de la teoría de conjuntos han logrado evitar este problema.

Nótese que el problema no es de autorreferencia. Puede demostrarse trivialmente que, para cualquier relación binaria R, no existe x tal que, para todo y, yRx si no yRy.