¿Cómo podrían existir las matemáticas y la lógica sin nosotros, si son conceptos creados por nosotros independientes de la realidad?

Tome las leyes del cuadrado inverso. Puedes verlos como matemáticos o basados ​​en la lógica, pero son geométricos y relacionales y solo una parte del ser de las cosas. Creemos que las proporciones involucradas provienen de las condiciones para que haya algo en lugar de nada.

contra infinito. Una herramienta mental realmente útil, pero que nunca existe en el mundo. Para definir exactamente pi y poder desarrollar la diferenciación, confíe en imaginar que las series son infinitas. Nos ayudan a transferir mentalmente entre contextos, lineales y circulares, discretos y continuos.

Así que tenemos cosas que dependen del conteo, que dependen de las propiedades de los cuerpos sólidos en aproximadamente nuestra escala y en aproximadamente nuestro entorno (no, por ejemplo, la escala cuántica o la superficie de una estrella de neutrones), que existen absolutamente, en casos específicos, sin nosotros en el mundo. Luego tenemos generalizaciones y abstracciones de estos, que no; junto con idealizaciones como el infinito y los círculos perfectamente redondos, que tampoco existen en el mundo.

La lógica nos ayuda a organizar nuestras experiencias y existe como una constelación mental alrededor de la estrella de nuestras propias preocupaciones. Pero hay otras estrellas, todo un universo de galaxias de otras formas de pensar y organizar experiencias.

Hay dos posiciones básicas:

El platonismo que afirma un mundo de formas y números ideales, la geometría y las matemáticas, idealmente son parte de ese mundo. Las matemáticas son entonces un descubrimiento y no una invención. Aristóteles, por ejemplo, asiente a esto inmediatamente en sus Categorías . Aunque era una posición muy extendida en la era premoderna, hoy en día es mucho menos común.

El constructivismo es la posición que usted mismo está indicando. Aquí, las matemáticas son concebidas por los hombres y por eso son inventadas y no un descubrimiento. Esta es la posición habitual en la era moderna. Sin embargo, una teórica de categorías, Eugenia Cheng, explicó que cuando hablaba con filósofos estaba convencida de que estaban construidos, pero cuando volvió a pensar en las matemáticas estaba convencida de que tenían una existencia real.

Hegel inventó una forma de lógica que era dinámica y orgánica. Surge en el mundo y moldea el mundo. Lo llamó la dialéctica como una alusión a los monistas eleáticos de Jonia que primero comenzaron a elaborar tal lógica. (También tiene una clara semejanza con una dialéctica elaborada en el Tao). Esto está lejos de nuestra noción moderna de lógica que es puramente sintáctica y formal.

Una forma de pensar sobre esto es ver que la lógica es una forma de necesidad. Y para Hegel, su Lógica de la Naturaleza tiene ese aspecto, es también una forma de necesidad. El análogo más cercano a esto hoy en día son las leyes naturales de la física, que son las leyes necesarias de la naturaleza misma.

Los físicos a veces hablan de descubrir las leyes de la naturaleza en la forma pura de la necesidad. En esta forma pura, no habría nada contingente en ella. Por ejemplo, en el Modelo Estándar de Física de Partículas hay una treintena de parámetros libres. Esto es contingente. Reducir este número es el objetivo de algunos físicos.

Hay tres posiciones posibles sobre este tema, sostenida respectivamente por platónicos estrictos (¿hay realmente alguno hoy en día?), teístas y ateos [1]:

• Platonismo estricto : los sistemas formales autoconsistentes existen realmente en un mundo de formas puras desde toda la eternidad, y temporalmente en la mente de las personas que los descubren.

• Platonismo teísta : los sistemas formales autoconsistentes existen virtualmente en Dios desde toda la eternidad y temporalmente en la mente de las personas que los descubren.

• Ficcionalismo : los sistemas formales autoconsistentes existen virtualmente solo en la mente de las personas que los construyen o aprenden de ellos, al igual que la trama de una novela existe virtualmente solo en la mente de su autor y sus lectores.

"Descubrir" en ambos sabores del platonismo y "construir" en el ficcionalismo es simplemente la misma actividad vista desde diferentes perspectivas. Todo el mundo está de acuerdo en que los matemáticos sólo pueden desarrollar aquellos sistemas formales autoconsistentes que pueden existir y, en ese sentido, puede decirse que los "descubren". Sin embargo, para un ateo esos sistemas formales no existían en ninguna parte antes de ser "descubiertos", y por lo tanto son estrictamente "construidos" por matemáticos.

Además, tanto el platonismo como el ficcionalismo pueden ser "plenitudinosos" [1], lo que significa que todos los sistemas formales autoconsistentes están en igualdad de condiciones, de modo que

• La geometría euclidiana no es ni menos ni más "real" o "verdadera" que la geometría elíptica o hiperbólica como sistemas formales, y

• (ZFC + CH) no es ni menos ni más "real", o "verdadero", que (ZFC + ¬CH) como sistemas formales [2].

Referencias/Notas

[1] Balaguer, M., 1998. "Platonismo y Antiplatonismo en las Matemáticas". https://books.google.com/books?id=UEyPF1T6EbUC

Cabe señalar que el platonismo plenitudino de Balaguer es equivalente al estructuralismo ante rem de Resnik y Shapiro:

Resnik, M., 1997. "Matemáticas como ciencia de patrones". https://books.google.com/books?id=EU2G_BFt7YsC

Shapiro, S., 1997. "Filosofía de las Matemáticas: Estructura y Ontología". https://books.google.com/books?id=9xVErjy9qPQC

[2] ZFC = Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. CH = hipótesis del continuo.

Kurt Gödel demostró en 1940 que CH no se puede refutar de ZFC.

Paul Cohen demostró en 1963 que CH no se puede probar a partir de ZFC.

Por lo tanto, si ZFC es consistente, entonces (ZFC + CH) y (ZFC + ¬CH) también lo son.

Creado o inventado, es difícil negar que "2 + 2" siempre será igual a "4", ya que es un hecho de necesidad lógica; o que el teorema de Pitágoras o el teorema de los números primos siempre será cierto sin importar que no haya otro ser humano cerca para demostrárselo a sí mismo. En ese sentido, las verdades matemáticas no dependen ni un ápice de la realidad empírica, pero si estas verdades 'significarían' algo sin humanos alrededor, es una pregunta completamente sin sentido. Necesitamos aceptar los axiomas, las reglas y la sintaxis en los que se basa una declaración matemática para establecer cualquier cosa. Sin embargo, la correspondencia con la realidad no tiene nada que ver con lo que descubre el conocimiento matemático. Es similar a cómo las reglas del juego de ajedrez no dependen de la realidad empírica para jugar. En un universo alternativo, Podrías imaginar que el juego de ajedrez se juega con las mismas reglas que obedecemos en nuestro universo. De manera análoga, es por eso que es interesante considerar cómo las matemáticas pueden ser no solo universales sino también contener verdades relacionadas con algo más que nuestro universo y todos los mundos posibles.

Dicho esto, hay algunos casos en los que las matemáticas están siendo avanzadas o desafiadas por lo que se entiende sobre la realidad empírica, como la lógica cuántica. Nuestro conocimiento de las matemáticas puras puede avanzar primero, luego se abre una aplicación en el universo que nos rodea. La geometría no euclidiana y las especulaciones sobre la geometría de dimensiones superiores en la teoría de cuerdas son ejemplos. O, por otro lado, y como reflejo de la historia, cuando el cálculo fue inventado por Leibniz y Newton, de forma independiente, fue para su aplicación directa en la física, etc. La "efectividad irrazonable" de explicar la realidad empírica más allá de las aplicaciones originales de estas herramientas matemáticas casi siempre supera grande y sorprendentemente sus aplicaciones originales.

La aparente inconsistencia que está exponiendo es el resultado de no darse cuenta de que hay dos tipos de "matemáticas y lógica", ¡y tratarlos como uno solo !

Existe la matemática/lógica " natural " y la matemática/lógica " hecha por el hombre ".
El primer tipo "existe", independiente de "nosotros", porque el Universo existe.
El segundo tipo "existe" porque fue creado por "nosotros".

Por lo tanto, si su pregunta se refiere al primer tipo, "existen sin nosotros". Si se refiere al segundo tipo, ¡no!