Espacio-tiempo curvo VS cambio de coordenadas en el espacio de Minkowski

La gravedad es una teoría de calibre. Las transformaciones de calibre son difeomorfismos (cambios de coordenadas) descritos por sus ecuaciones. Por tanto, el espacio de todas las métricas posibles (el espacio de módulos) es el cociente del espacio de todas$g_{\mu \nu}$sobre estos cambios de coordenadas.

Entonces tus$g_{\mu \nu}$se puede configurar para$\eta_{\mu \nu}$por alguna transformación de coordenadas. Significa que pertenecen a la misma clase de equivalencia .

Por otro lado,$q_{\mu \nu}$pertenece a otra clase de equivalencia . Se puede ver calculando el tensor de curvatura de Riemann. Para cualquier$g_{\mu \nu}$debe ser cero, pero no para$q_{\mu \nu}$.

La pregunta de OP (v2) parece parcialmente causada por el uso impreciso de la palabra local:

1. Si la ecuación de OP. (1) se mantiene localmente en un vecindario $U\subseteq M$, entonces existen coordenadas en$U$tal que la métrica$g_{\mu\nu}$se convierte en forma de Minkowski en$U$, y luego el tensor de curvatura de Riemann (Levi-Civita) $R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda}$desaparece en$U$, o equivalentemente, la variedad$M$es por definición plana en$U$. Las implicaciones también se mantienen en la dirección opuesta, después de posiblemente ir a un vecindario más pequeño.$V\subseteq U$.

2. Para un punto arbitrario$p\in M$en una variedad lorentziana $(M,g)$, existen coordenadas normales de Riemann en una vecindad de coordenadas suficientemente pequeña$U\subseteq M$del punto$p$tal que la métrica$g_{\mu\nu}$se convierte en la forma de Minkowski con símbolos de Christoffel (Levi-Civita) que se desvanecen$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ localmente en el punto $p$(pero no necesariamente en el vecindario pinchado$U\backslash\{p\}$y el múltiple$M$no es necesariamente plano en$U$). En particular, el tensor de curvatura de Riemann (Levi-Civita)$R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda}$no necesariamente desaparece en$p$.