¿Cómo fijar localmente coordenadas cartesianas en la superficie de una esfera?

La página 166 de este libro dice que

cualquier geometría, por curva que sea, es localmente plana , en cada punto espacial siempre podemos construir un parche infinitesimal de un sistema de coordenadas cartesianas.

La pregunta es ¿cuáles pueden ser (o cómo pensar) las coordenadas cartesianas locales en la superficie de una esfera unitaria? Dado que es una coordenada cartesiana, el tensor métrico debe ser d i j . si uso ( X , y , z ) sistema, el tensor métrico no se convierte en d i j debido a la restricción X 2 + y 2 + z 2 = 1 . En Coordenadas polares esféricas también, la métrica no es d i j .

Tenga en cuenta la palabra "infinitesimal". Las coordenadas no estarán exactamente "en" la esfera sino en el plano tangente a la esfera. Puede pensar en ellos como generados por la elección de dos vectores tangentes perpendiculares en el punto de tangencia. Los puntos del plano tangente "infinitesimalmente" se corresponderán con los puntos de la esfera mediante un mapa exponencial , pero en cualquier parche finito , sin importar cuán pequeño sea, la curvatura de la esfera es distinta de cero, por lo que las coordenadas inducidas no son planas.
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Respuestas (1)

Comentarios a la publicación (v1):

  1. Por la palabra localmente plana Ref. 1 parece referirse a la existencia de coordenadas normales de Riemann , es decir, se puede disponer en un punto que (i) el tensor métrico sea el delta de Kronecker y que (ii) las primeras derivadas parciales de la métrica desaparezcan.

  2. Este resultado no es necesariamente posible de extender a un entorno abierto debido a la curvatura, cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

Referencias:

  1. U. Leonhardt y T. Philbin, Geometría y luz: la ciencia de la invisibilidad, 2010; pag. 166.
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