Marco inercial local

Si$ds^2=\eta_{\alpha \beta}d \xi^{\alpha} d \xi^{\beta}$fuera cierto para todos los puntos del espacio, ¡no tendríamos curvatura, por lo tanto, no tendríamos gravedad!

Tomemos por ejemplo una esfera (la Tierra), localmente podemos medir distancias por$ds^2=dx^2+dy^2$, pero esto no puede sostenerse para dos puntos arbitrarios en la esfera. De hecho, este sistema de coordenadas cambia de un punto a otro (piense en un plano tangente a la esfera).

Tendríamos que reemplazar las coordenadas locales, que llamaste$\xi^\alpha$(las coordenadas cartesianas$x$y$y$en este caso) y reemplazarlos por algunas otras coordenadas globales, como los ángulos$\theta$y$\phi$. (Tenga en cuenta que todavía necesitaríamos parches para cubrir la esfera total). Entonces, la distancia entre dos puntos arbitrarios se calcularía usando

Así que la curvatura es lo que nos hace presentar$g_{\mu\nu}$y las coordenadas globales$x^\mu$.

Un marco de inercia local no vería la gravedad y sería capaz de hacer relatividad especial, para una región pequeña no hay una curvatura significativa. Para continuar con la analogía de la Tierra, no apreciaría la curvatura en muchos kilómetros, pero la región local sería mucho más pequeña que el parche completo. Tenga en cuenta que cualquier mapa del mundo (un parche completo) presentará distorsión debido a la curvatura, pero un mapa de carreteras pequeño no tendrá ninguna distorsión.

En la geometría de Riemann hay un hermoso teorema que establece que una variedad con una conexión simétrica es localmente plana en todas partes si y solo si el tensor de curvatura desaparece. Por lo tanto, en unas coordenadas localmente planas tales que$\Gamma_{jk}^i=0$,$g_{ij}$es constante en todo el gráfico y se puede usar una transformación lineal para diagonalizar la métrica en una métrica plana$\eta_{ij}$. En este caso, y solo en este caso, sería posible utilizar la métrica plana en todo el gráfico.

Sin embargo, este no es el caso en general, porque normalmente el tensor de curvatura no desaparece. Pero aún es posible encontrar una coordenada en un punto$p$de la variedad tal que$g_{ij}(p)=\eta_{ij}(p)$siempre que desaparezca el tensor de torsión (que es el caso de GR). Esto se llama coordenadas geodésicas o coordenadas normales. Pero esto se hace de manera diferente para cada punto.$p$y no significa que las segundas derivadas de la métrica, y por lo tanto la curvatura, sean cero y por eso no se puede extender la métrica plana para toda la variedad (a menos que la curvatura desaparezca). Recuerda también que la métrica, como tensor, es independiente del marco de coordenadas. Aunque sus coordenadas$g_{ij}$cambiar de un marco a otro, el objeto abstracto$g=g_{ij}dx^i\otimes dx^j$sigue siendo el mismo.

$g_{\mu \nu}(x)$significa que$g$es una función de ubicación ($x$) --- por lo que varía a través de la variedad, que es el problema.

creo que si$g \ne g(x)$, entonces necesariamente$g = \eta$... Esperemos que alguien más pueda intervenir en eso.

Dejar$\mathcal{M}$ser la variedad de espacio-tiempo, cuyas cartas locales (conjuntos abiertos) están descritas por$U_i$.

Un marco de coordenadas local$S_i$es un mapa$\xi\colon U_i\mapsto \mathbb{R}^N$tal que$\xi(m) = (x_1,\ldots,x_N) \in \mathbb{R}^N, m\,\in U_i$. Deja, además,$g$ser un$(0,2)$tensor de rango (la métrica).

Un cambio de coordenadas es cualquier mapa invertible suave$f\colon U_i\mapsto U_j$. Bajo tal mapa el elemento$\alpha$de la transformación del paquete cotangente como$\alpha'(x') = f_*(x)\alpha(x)$, con$f_*$siendo el pullback del mapa$f$.

Podría ser posible, dado un par de gráficos$(U_i,U_j)$, encontrar$f$tal que la nueva métrica calculada en$U_j$resultará proporcional al anterior en$U_i$; sin embargo, dado que la forma$f$depende fuertemente de las cartas y del punto, aplicando el mismo$f_*$a otro gráfico$U_k$podría no hacer el trabajo (en realidad, el mapa$f$puede que ni siquiera esté definido en otros gráficos).

Las transformaciones lineales son un caso muy especial porque la matriz jacobiana no depende del punto, ya que al derivar la dependencia de$x$desaparece Esto permite extenderlos fácilmente a toda la variedad, mientras que eso puede no ser posible para ningún otro cambio de coordenadas (no lineal).

Las variedades se definen de tal manera que localmente se ven como el espacio euclidiano; por eso las llamamos variedades suaves .

Una variedad de Riemann es una variedad que localmente tiene alguna estructura de producto interna, es decir, una forma de medir longitudes y ángulos.

Las longitudes y los ángulos son invariantes, por lo que tendrán una expresión invariante en términos de una base de coordenadas locales; y por lo tanto también una ley de transformación.

Esencialmente, localmente todo lo que estás haciendo es álgebra lineal.