Confusión con ciertos aspectos del Principio de Equivalencia

Question

Confusión con ciertos aspectos del Principio de Equivalencia

Física
tensor-métrico
sistemas coordinados
relatividad general
geometría diferencial
principio de equivalencia

K_K

Tomé un curso de GR y lo estoy revisando después de un tiempo. Estoy muy confundido sobre el principio de equivalencia. Considere las siguientes dos afirmaciones:

En una variedad de Riemann, siempre podemos elegir coordenadas tales que la métrica se parezca a la métrica de Minkowski ( $\eta_{\mu\nu}$ ) localmente.
Por el principio de equivalencia, sabemos que localmente no se puede distinguir entre caída libre y ausencia de gravedad. Otra forma de ver esto es que siempre se pueden elegir coordenadas aceleradas localmente para imitar los efectos de un campo gravitatorio uniforme.

Ahora, puede ser obvio para algunos, pero no veo cómo incluso el punto #1 proviene del principio de equivalencia. ¿Cómo puedo elegir coordenadas localmente aceleradas para imitar los efectos de un campo gravitatorio uniforme que tiene que ver con que el espacio-tiempo sea localmente plano? ¿Es porque llamamos a estas coordenadas aceleradas wrt métrica de Minkowski ( $\eta_{\mu\nu}a^{\mu}a^{\nu}=$ constante)? ¿O es que estas coordenadas localmente aceleradas son precisamente las coordenadas que hacen que la métrica parezca $\eta^{\mu\nu}$ ¿en la zona?

Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas (4)

Confusión con ciertos aspectos del Principio de Equivalencia

T. ssP · Answer 1

Creo que su pregunta tiene una conexión profunda con las coordenadas normales de Riemann.

La idea básica detrás de las coordenadas normales de Riemann es usar las geodésicas a través de un punto dado para definir las coordenadas de los puntos cercanos. Sea el punto dado $O$ y considerar algún punto cercano $P$ . Si $P$ está lo suficientemente cerca de $O$ entonces existe una unión geodésica única $O$ a $P$ . Dejar $a^\mu$ Sean las componentes del vector unitario tangente a esta geodésica en $O$ y deja $s$ Sea la longitud del arco geodésico medida desde $O$ a $P$ . Entonces las coordenadas normales de Riemann de $P$ se definen para ser $x^\mu = sa^\mu$ .

Una consecuencia trivial de esta definición es que todas las geodésicas a través de O son de la forma $x^\mu(s) = sa^\mu$ y que el $a^\mu$ son constantes a lo largo de cada geodésica. Por sustitución directa en la ecuación geodésica

\frac{d^{2} X^{m}}{d s^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d s} \frac{d X^{β}}{d s} = 0

$\frac{d^2x^\mu}{ds^2} + \Gamma^\mu_{\alpha \beta}\frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds}=0$

y sus derivados, se obtiene, en el origen $O$

Γ_{α β}^{m} = 0

$\Gamma^\mu_{\alpha \beta} = 0$

\partial_{v} Γ_{α β}^{m} + \partial_{α} Γ_{v β}^{m} + \partial_{β} Γ_{α v}^{m} = 0

$\partial_\nu \Gamma^\mu_{\alpha \beta} + \partial_\alpha \Gamma^\mu_{\nu \beta} + \partial_\beta \Gamma^\mu_{\alpha \nu} = 0$

A partir de estos resultados es fácil ver que

\partial_{v} Γ_{α β}^{m} = - \frac{1}{3} (R_{α β v}^{m} + R_{β α v}^{v})

$\partial_\nu \Gamma^\mu_{\alpha \beta} = -\frac{1}{3}(R^\mu_{\alpha \beta \nu} + R^\nu_{\beta \alpha \nu})$

de lo que se deduce que

\partial_{α} \partial_{β} {gramo}_{m v} = - \frac{1}{3} (R_{m α v β} + R_{m β v α})

$\partial_\alpha \partial_\beta g_{\mu \nu} = -\frac{1}{3}(R_{\mu \alpha \nu \beta} + R_{\mu \beta \nu \alpha})$

y finalmente

R_{m v α β} = \partial_{m} \partial_{β} {gramo}_{α v} - \partial_{v} \partial_{β} {gramo}_{α m}

$R_{\mu \nu \alpha \beta} = \partial_\mu \partial_\beta g_{\alpha \nu} - \partial_\nu \partial_\beta g_{\alpha \mu}$

Este resultado finalmente se puede usar para reexpresar la expansión de Taylor de la métrica en términos de la curvatura, es decir, el tensor de Riemann. La expansión de Taylor dice lo siguiente

{gramo}_{m v} (X) = η_{m v} + \partial_{α} \partial_{β} {gramo}_{m v} \frac{X^{α} X^{β}}{2} + O (ϵ^{2})

$g_{\mu \nu}(x)= \eta_{\mu \nu} + \partial_\alpha \partial_\beta g_{\mu \nu} \frac{x^\alpha x^\beta}{2} + O(\epsilon^2)$

Por lo tanto

{gramo}_{m v} (X) = η_{m v} - \frac{1}{3} R_{m α v β} X^{α} X^{β}

$\boxed{g_{\mu \nu}(x)=\eta_{\mu \nu} - \frac{1}{3}R_{\mu \alpha \nu \beta} x^\alpha x^\beta}$

Por lo tanto, los términos principales de la métrica podrían expresarse como la suma de una parte constante más una parte de curvatura para puntos cercanos. Observe que este resultado no es válido para puntos que están más alejados, donde la expansión de Taylor de la métrica no es aplicable y el vector unitario tangente no es constante a lo largo de la unión geodésica $O$ a $P$ .

Físicamente, el campo gravitatorio real no es la aceleración sino las fuerzas de marea que no pueden desaparecer con ningún cambio de coordenadas. Las fuerzas de marea generalmente se miden como una desviación geodésica que rompe la localidad de dos observadores lo suficientemente separados.

Como ejemplo de estas coordenadas tenemos el agujero negro de Schwarzschild, donde cerca del horizonte de eventos se puede demostrar que la métrica de dos puntos cercanos tiene la misma forma que las coordenadas de Rindler de un observador acelerado en un espacio-tiempo plano.

Más información en coordenadas de Riemann .

Vicente Thacker · Answer 2

Primero necesitamos separar los sistemas de coordenadas de la variedad misma. La variedad en sí tiene la misma forma independientemente de las coordenadas que elija. Considere una partícula en caída libre que muestra el tiempo adecuado $\tau$ . En un sistema de coordenadas, su movimiento viene dado por la ecuación geodésica

\frac{d^{2} X^{ρ}}{d τ^{2}} = - Γ_{m v}^{ρ} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ}

$\frac{\text{d}^2x^\rho}{\text{d}\tau^2} = -\Gamma^\rho_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}$ Esta ecuación depende de las coordenadas. Es posible cambiar las coordenadas de modo que todos

Γ_{μ ν}^{ρ} = 0

$\Gamma^\rho_{\mu\nu} = 0$ en un solo punto, tal que

\frac{d^{2} X^{ρ}}{d τ^{2}} = 0

$\frac{\text{d}^2x^\rho}{\text{d}\tau^2} = 0$ y, por definición, este es el movimiento de partículas en caída libre en un espacio-tiempo plano con

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ . Si usamos algún otro sistema de coordenadas en su lugar, encontrará que

d^{2} x^{ρ} / d τ^{2} \neq 0

$\text{d}^2 x^\rho /\text{d}\tau^2 \neq 0$ lo que significa que la partícula en caída libre está acelerando con respecto a las coordenadas, que es precisamente lo que un observador que usa estas coordenadas percibe como "gravedad".

De manera más general, la aceleración de una partícula con respecto a un sistema de coordenadas es la suma de la aceleración propia $a^\rho$ y aceleración (geométrica) inducida por coordenadas:

\frac{d^{2} X^{ρ}}{d τ^{2}} = a^{ρ} - Γ_{m v}^{ρ} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ}

$\frac{\text{d}^2x^\rho}{\text{d}\tau^2} = a^\rho - \Gamma^\rho_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}$ Lo que esto significa es que la aceleración adecuada de un objeto, que es la aceleración medida por un acelerómetro en el propio objeto, es independiente de las coordenadas (aunque sus componentes, dadas por la ecuación anterior, dependen de la elección del sistema de coordenadas ) . En GR, la gravedad es el resultado de la curvatura del espacio-tiempo y no una fuerza, por lo que no es una fuente de aceleración adecuada. Por lo tanto, su término "coordenadas aceleradas localmente" me suena vago. Un observador tiene la aceleración adecuada o no la tiene.

Andrés Steane · Answer 3

Andrés Steane

Seguramente 'ausencia de gravedad' (afirmación 2) no es otra cosa que 'la métrica es localmente Minkowski' (afirmación 1). Otra forma de decirlo: la métrica local de Minkowski da cero a todos los coeficientes de conexión en un punto, y los fenómenos gravitatorios surgen de coeficientes de conexión distintos de cero.

K_K

Simplemente pon. Gracias por su respuesta. ¿Consideraría echar un vistazo a otra pregunta ? También me gustaría tu opinión al respecto.

Andrés Steane

@KabirKhanna ok, agregué una respuesta allí, para ampliar lo que otros ya publicaron

acechador

pero en un marco de caída libre, la métrica es más o menos localmente Minkowski. ¿Es correcto decir que un marco en caída libre está en ausencia de gravedad? Diría que necesita tomar derivadas de segundo orden de la métrica para decir que

Andrés Steane

@lurscher Tienes razón. Mi respuesta se refiere únicamente a lo que afirma el principio de equivalencia. Esa es una afirmación sobre la física en el límite donde la región del espacio-tiempo bajo estudio tiene un tamaño pequeño comparado con los radios locales de curvatura del espacio-tiempo. Pero es una cuestión aparte si la noción de "sin gravedad" debe entenderse como "sin efecto de marea de la gravedad". Esa afirmación más fuerte requeriría un espacio-tiempo completamente plano (si uno requiere que desaparezcan todas las derivadas superiores de la métrica).

Umaxo · Answer 4

¿Cómo puedo elegir coordenadas localmente aceleradas para imitar los efectos de un campo gravitatorio uniforme que tiene que ver con que el espacio-tiempo sea localmente plano?

Si imitas los efectos de un campo gravitatorio, significa que en realidad no hay campo gravitatorio, pero solo parece serlo. Si no hay campo gravitatorio, el espacio-tiempo es plano.

La curvatura es un concepto independiente de las coordenadas. Si algo tiene curvatura, lo hace en cualquier sistema de coordenadas. Entonces, si puede imitar las propiedades locales de la métrica en el espacio-tiempo curvo eligiendo coordenadas especiales en el espacio-tiempo plano, esto significa que los dos espacio-tiempos tienen localmente la misma curvatura, es decir, el espacio-tiempo curvo debe ser localmente plano.

Su respuesta es convincente, pero hay un punto matemático del que todavía no estoy seguro: ¿Son estas coordenadas localmente aceleradas, digamos en el punto P de la variedad, las mismas coordenadas que hacen que mi métrica se vea como la métrica de Minkowski alrededor del punto P ? Creo que sí, pero no estoy seguro.
@KabirKhanna No estoy seguro de qué manera interpretar "las mismas coordenadas". Las coordenadas son el homeomorfismo de la variedad en $\mathbb{R}^n$ y estás trabajando con dos colectores diferentes. ¿Qué significa que unas coordenadas sean las mismas si están definidas en diferentes espacios?

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Formulación geométrica del principio de equivalencia

Interpretación de Coordenadas Normales

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

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