Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Question

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Josh Pilipovsky

Sabemos en relatividad general (o más bien en geometría diferencial) que puedes tener algunas coordenadas localmente planas (creo que se llaman coordenadas normales de Riemann ) en un punto $P$ en nuestra multiplicidad (espacio-tiempo). En este punto $P$ , la métrica es euclidiana hasta la desviación de segundo orden, es decir

{gramo}_{τ m} \approx η_{τ m} + B_{τ m, λ σ} X^{λ} X^{σ} + . . .

$g_{\tau \mu} \approx \eta_{\tau \mu} + B_{\tau \mu \ ,\lambda \sigma} \ x^\lambda x^\sigma + ...$ dónde

B_{τ μ, λ σ}

$B_{\tau \mu \ ,\lambda \sigma}$ son sólo los términos del coeficiente de Taylor (segundo orden en

g

$g$ ).

Ahora me hicieron creer que los símbolos de Christoffel deberían desaparecer en este punto $P$ en coordenadas localmente planas, pero bajo la definición de ellas, obtengo

\begin{aligned} Γ_{ρ v}^{λ} & \equiv \frac{1}{2} {gramo}^{λ τ} (\partial_{ρ} {gramo}_{v τ} + \partial_{v} {gramo}_{ρ τ} - \partial_{τ} {gramo}_{ρ v}) \\ = η^{λ τ} (B_{τ v, k ρ} + B_{τ ρ, k v} - B_{ρ v, k τ}) X^{k} + . . . \end{aligned}

$\begin{split} \Gamma_{\rho \nu}^\lambda & \equiv \frac{1}{2} g^{\lambda \tau} (\partial_\rho g_{\nu \tau} + \partial_{\nu} g_{\rho \tau} - \partial_{\tau} g_{\rho \nu}) \\ & = \eta^{\lambda \tau}(B_{\tau \nu \ , \kappa \rho} + B_{\tau \rho \ , \kappa \nu} - B_{\rho \nu \ , \kappa \tau})\ x^\kappa + ... \end{split}$

Este es un símbolo de Christoffel que no desaparece. Si estoy malinterpretando, ¿cuándo exactamente desaparecen los símbolos?

Pedro Kravchuk

...y ambientación

x = 0

$x=0$ ves que se desvanecen.

Pedro Kravchuk

El punto es que los símbolos de Cristoffel no son tensores. Si el tensor desaparece en un sistema de coordenadas, desaparece en cualquier otro. Pero los símbolos de Cristoffel describen físicamente la aceleración, y el sistema de coordenadas que elija es equivalente a ir a un marco de referencia local de "caída libre". El término lineal que ves describe las fuerzas de marea. De hecho,

B

$B$ está relacionado con el tensor de Riemann, que es algo que se usa estándar para describir las fuerzas de marea.

Josh Pilipovsky

@Peter Kravchuk por qué establecer

x = 0

$x=0$ ? Sí, entiendo que los símbolos de Christoffel no son tensores, y por eso obtenemos un término extra bajo una carga de coordenadas que nos lleva a encontrar la definición de la derivada covariante. Todo lo que pregunto es por qué no se desvanecen en este marco de caída libre como dices.

Pedro Kravchuk

no puedes hacer que desaparezcan de forma idéntica. Piense en el principio de equivalencia, por ejemplo, la Tierra girando alrededor del sol. Hay atracción gravitatoria hacia el sol, pero no la experimentamos ya que no estamos en un sistema inercial, sino en aceleración; más precisamente, estamos cayendo libremente en la gravedad del Sol. Por eso, digamos, en el centro de la Tierra la atracción gravitacional hacia el Sol es cero. Pero no es cero en todas partes de la Tierra: estas fuerzas distintas de cero son las fuerzas de marea (sin embargo, las fuerzas de marea de la Luna son más fuertes).

Respuestas (2)

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

El punto es que los símbolos de Cristoffel no son tensores. Si el tensor desaparece en un sistema de coordenadas, desaparece en cualquier otro. Pero los símbolos de Cristoffel describen físicamente la aceleración, y el sistema de coordenadas que elija es equivalente a ir a un marco de referencia local de "caída libre". El término lineal que ves describe las fuerzas de marea. De hecho, $B$ está relacionado con el tensor de Riemann, que es algo que se usa estándar para describir las fuerzas de marea.
@Peter Kravchuk por qué establecer $x=0$ ? Sí, entiendo que los símbolos de Christoffel no son tensores, y por eso obtenemos un término extra bajo una carga de coordenadas que nos lleva a encontrar la definición de la derivada covariante. Todo lo que pregunto es por qué no se desvanecen en este marco de caída libre como dices.
no puedes hacer que desaparezcan de forma idéntica. Piense en el principio de equivalencia, por ejemplo, la Tierra girando alrededor del sol. Hay atracción gravitatoria hacia el sol, pero no la experimentamos ya que no estamos en un sistema inercial, sino en aceleración; más precisamente, estamos cayendo libremente en la gravedad del Sol. Por eso, digamos, en el centro de la Tierra la atracción gravitacional hacia el Sol es cero. Pero no es cero en todas partes de la Tierra: estas fuerzas distintas de cero son las fuerzas de marea (sin embargo, las fuerzas de marea de la Luna son más fuertes).

anton quelle · Answer 1

Su expresión para los símbolos de Cristoffel parece ser correcta. En cualquier caso, es definitivamente cierto que solo deberían desaparecer por $x=0$ . La razon es la siguiente:

Al elegir un sistema de coordenadas, etiqueta los diferentes puntos en una parte de su variedad con un conjunto de números $x^\mu$ . Por construcción, el punto $P$ tiene las coordenadas $x=0$ , y distinto de cero $x$ corresponden a puntos alrededor $P$ . El enunciado de que en las coordenadas normales de Riemann alrededor de $P$ , los símbolos de los Cristoffel se desvanecen en $P$ significa que los símbolos desaparecen para $x=0$ .

Si los símbolos de Cristoffel desaparecieran por $x$ en algún barrio de $0$ , esto significaría que el tensor de curvatura desaparece en ese vecindario. Esto solo es cierto si el colector es realmente plano en $P$ .

usuario108787 · Answer 2

En algunos sistemas de coordenadas desaparecen, creo, lo que para mí tiene sentido ya que tienes la libertad de elegir el sistema en el que desaparecen.

Desaparición de los símbolos de Christoffel

Pregunta: ¿Los valores de los símbolos de Christoffel son los mismos para todos los sistemas de coordenadas en una superficie/variedad? Me encantaría ver un ejemplo para el cono en dos parametrizaciones diferentes.

Respuesta: La respuesta es no. La razón es que los símbolos de Christoffel no son campos escalares, ni campos tensoriales, pueden desaparecer completamente en un sistema de coordenadas y, sin embargo, no desaparecer en otro. Como ejemplo simple, considere el plano en coordenadas cartesianas: Todos los símbolos de Christoffel desaparecen. Ahora considere las coordenadas polares, habrá algunas que no se desvanecen

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Josh Pilipovsky

Pedro Kravchuk

Pedro Kravchuk

Josh Pilipovsky

Pedro Kravchuk

Respuestas (2)

anton quelle

usuario108787

Aclarar qué métrica cuenta como espacio plano

Marco inercial local

¿Cómo probar que un espaciotiempo plano admite coordenadas de Minkowski?

¿Qué hace que una coordenada sea curva?

Interpretación de Coordenadas Normales

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

Aplicaciones de la relatividad general distintas de la gravedad

Diferentes firmas

¿Por qué una métrica plana implica coordenadas?

¿Cómo calculamos un volumen en un espacio curvo?