Formulación geométrica del principio de equivalencia

En realidad, el resultado es aún más fuerte:

Dada una geodésica temporal$\gamma$y un punto$p \in \gamma$, hay un barrio$U \ni p$equipado con coordenadas,$x^0,x^1,x^2,x^3$tal que en la porción de$\gamma$incluido en$U$, exactamente a lo largo$\gamma$, las derivadas de la métrica se anulan en dichas coordenadas. Equivalentemente los símbolos de Christoffel$\Gamma^a_{bc}$en dichas coordenadas se desvanecen a lo largo$\gamma$en$U$. la coordenada$x^0$coincide con el tiempo propio medido a lo largo$\gamma$y las tres coordenadas restantes$x^k$se puede elegir espacial y ortogonal a$\gamma$.

Las coordenadas mencionadas se denominan coordenadas de Fermi adaptadas a$\gamma$

Este resultado (pero también el más débil que mencionas, ya que en la prueba a continuación usamos el hecho de que los símbolos de Christoffel desaparecen exactamente como el origen de las coordenadas) implica una versión geométrica del principio de equivalencia. Más precisamente, implica la declaración que dice que,

en el marco de referencia centrado en un cuerpo en caída libre, el movimiento de otro cuerpo en caída libre se aproxima mediante un movimiento de velocidad constante y esta aproximación es válida para tiempos cortos y en una pequeña región espacial alrededor del centro del marco de referencia en caída libre.

Ilustremos cómo sucede. Considere dicho sistema de coordenadas$x^0,x^1,x^2,x^3$suponiendo (redefiniendo el origen de coordenadas si es necesario) que la porción de$\gamma$en$U$es descrito por$x^0 \in (-a,a)$y$x^k=0$para$k=1,2,3$.

Una segunda geodésica temporal$\gamma'$cruce$\gamma$en el origen tiene ecuación

$$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2} = -\Gamma^{a}_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\:.$$ Sin embargo, exactamente en el origen de las coordenadas donde se encuentran las historias de los dos cuerpos en caída libre y suponiendo tomar el tiempo adecuado de $\gamma'$ser $t=0$allá, $$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}\bigg|_{t=0} = - \Gamma^{a}_{bc}\bigg|_{(0,0,0,0)} \frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\bigg|_0 \frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\bigg|_0 = 0 ~~\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\bigg|_0\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\bigg|_0 =0\:.$$ Ampliando la expresión de $\gamma'$en coordenadas alrededor $t=0$, $$x^a(t) = x^a(0) + \frac{\mathrm dx^a}{\mathrm dt}\bigg|_0 t + \frac{1}{2}\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}\bigg|_0 t^2 + O^a(t^3)= 0 + V^a t + 0 + O^a(t^3)$$ eso es $$x^a(t) = V^at + O(t^3)\:.$$ Este es de hecho un movimiento con velocidad constante. Darse cuenta de $V^0 \neq 0$porque $\gamma'$es temporal, por lo que podemos volver a parametrizar la geodésica utilizando el tiempo de las coordenadas $x^0$en lugar del momento adecuado $t$a lo largo de $\gamma'$. Definición $v^k := V^k/V^0$para $k=1,2,3$fácilmente tenemos $$x^k(x^0) = v^k x^0 + O^k((x^0)^3)\:.$$ Para apreciar alguna aceleración tenemos que tratar con infinitesimales de tercer orden $O((x^0)^3)$en lugar del segundo orden. Esta aproximación es tan mejor como $x^0$es más pequeño, es decir, el cuerpo con historia dado por $\gamma'$esta cerca de $\gamma$.